ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1104

Пусть заданы функции $f(x) = 3\cos 5x$ и $g(x) = 5\cos 3x + 2$. Угловые коэффициенты касательных к графикам функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ в точках с абсциссой $x$ равны значениям производных этих функций в данной точке: $$ k_1 = f'(x), \quad k_2 = g'(x) $$ Касательные параллельны, если равны их угловые коэффициенты: $$ f'(x) = g'(x) $$ 1. Найдем производные функций, используя правило дифференцирования сложной функции: $$ f'(x) = (3\cos 5x)' = 3 \cdot (-\sin 5x) \cdot (5x)' = -15\sin 5x $$ $$ g'(x) = (5\cos 3x + 2)' = 5 \cdot (-\sin 3x) \cdot (3x)' + 0 = -15\sin 3x $$ 2. Приравняем производные: $$ -15\sin 5x = -15\sin 3x $$ Разделим обе части уравнения на $-15$: $$ \sin 5x = \sin 3x $$ $$ \sin 5x - \sin 3x = 0 $$ 3. Применим формулу разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2\sin\dfrac{\alpha - \beta}{2}\cos\dfrac{\alpha + \beta}{2}$: $$ 2\sin\frac{5x - 3x}{2}\cos\frac{5x + 3x}{2} = 0 $$ $$ 2\sin x \cos 4x = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю: 1) $\sin x = 0$ $$ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\cos 4x = 0$ $$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \quad x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi n}{4}, \; n \in \mathbb{Z}$.