ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1107

Точка $A$ — точка пересечения графика функции $y = x^3 + ax^2 + bx + c$ с осью ординат, поэтому её координаты: $x = 0$, $y = c$, то есть $A(0; c)$. По условию $c < 0$. Так как кубическая функция имеет ровно две общие точки с осью абсцисс ($M$ и $N$), один из корней многочлена имеет кратность 2, а второй — кратность 1. В точке кратного корня график касается оси $Ox$, то есть производная в этой точке равна нулю, и касательной является прямая $y = 0$ (ось $Ox$). Если бы кратным корнем была точка $M$, то касательная к графику в точке $M$ совпадала бы с осью $Ox$ и проходила бы через начало координат $(0; 0)$. Но по условию эта касательная проходит через точку $A(0; c)$, где $c < 0$, что невозможно. Следовательно, кратным корнем является абсцисса точки $N$, а простым — абсцисса точки $M$. Пусть $M(m; 0)$ и $N(n; 0)$, где $m \neq n$. Тогда функцию можно представить в виде: $$ y = (x - n)^2(x - m) $$ 1. Найдём значение $c$: $$ c = y(0) = (0 - n)^2(0 - m) = -m n^2 $$ Так как $c < 0$ и $n \neq 0$, то $m > 0$. 2. Найдём производную функции: $$ y' = 2(x - n)(x - m) + (x - n)^2 $$ Угловой коэффициент касательной в точке $M(m; 0)$ равен: $$ k = y'(m) = 2(m - n)(m - m) + (m - n)^2 = (m - n)^2 $$ Уравнение касательной, проходящей через точку $M(m; 0)$: $$ y = (m - n)^2(x - m) $$ По условию касательная проходит через точку $A(0; c)$. Подставим её координаты: $$ c = (m - n)^2(0 - m) = -m(m - n)^2 $$ 3. Приравняем два полученных выражения для $c$: $$ -m(m - n)^2 = -m n^2 $$ Так как $m > 0$, разделим обе части равенства на $-m$: $$ (m - n)^2 = n^2 $$ Отсюда: - $m - n = -n \implies m = 0$, что противоречит условию $m > 0$; - $m - n = n \implies m = 2n$. Так как $m > 0$, то и $n > 0$. 4. Рассмотрим треугольник $AMN$: - Точки $M(2n; 0)$ и $N(n; 0)$ лежат на оси $Ox$, длина основания: $MN = |m - n| = |2n - n| = n$. - Точка $A(0; c)$ лежит на оси $Oy$, высота треугольника, опущенная на ось $Ox$, равна $|c| = -c$. Площадь треугольника $AMN$ равна: $$ S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot |c| = -\frac{1}{2} n c $$ По условию $S = 1$, откуда: $$ -n c = 2 $$ Выразим $c$ через $n$, подставив $m = 2n$: $$ c = -m n^2 = -2n \cdot n^2 = -2n^3 $$ Подставим $c$ в формулу площади: $$ -n(-2n^3) = 2 $$ $$ 2n^4 = 2 $$ $$ n^4 = 1 $$ Поскольку $n > 0$, получаем $n = 1$. 5. Найдём $m$ и коэффициенты $a$, $b$, $c$: $$ m = 2n = 2 $$ $$ c = -2n^3 = -2 $$ Запишем формулу функции и раскроем скобки: $$ y = (x - 1)^2(x - 2) = (x^2 - 2x + 1)(x - 2) = x^3 - 2x^2 - 2x^2 + 4x + x - 2 = x^3 - 4x^2 + 5x - 2 $$ Сравнивая с $y = x^3 + ax^2 + bx + c$, получаем: $a = -4$, $b = 5$, $c = -2$. Ответ: $a = -4$, $b = 5$, $c = -2$.