ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1101

1. Составим уравнение касательной к графику функции $f(x) = 9x - x^3$ в точке с абсциссой $x_0 = 3$. Уравнение касательной имеет вид: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$ Найдем значение функции в точке касания: $$ f(3) = 9 \cdot 3 - 3^3 = 27 - 27 = 0 $$ Найдем производную функции: $$ f'(x) = (9x - x^3)' = 9 - 3x^2 $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$: $$ f'(3) = 9 - 3 \cdot 3^2 = 9 - 27 = -18 $$ Подставим найденные значения в уравнение касательной: $$ y = 0 - 18(x - 3) $$ $$ y = -18x + 54 $$ 2. Найдем абсциссы точек пересечения графика функции $y = 9x - x^3$ и касательной $y = -18x + 54$: $$ 9x - x^3 = -18x + 54 $$ $$ x^3 - 27x + 54 = 0 $$ Так как $x = 3$ — точка касания, то выражение $(x - 3)^2$ является делителем многочлена $x^3 - 27x + 54$: $$ (x - 3)^2(x + 6) = 0 $$ Отсюда получаем корни: $$ x_1 = -6, \quad x_2 = 3 $$ 3. На отрезке $[-6; 3]$ касательная лежит выше графика функции, так как при $x \in (-6; 3)$ разность: $$ (-18x + 54) - (9x - x^3) = x^3 - 27x + 54 = (x - 3)^2(x + 6) > 0 $$ 4. Вычислим площадь фигуры с помощью определенного интеграла: $$ S = \int_{-6}^{3} ((-18x + 54) - (9x - x^3)) \, dx = \int_{-6}^{3} (x^3 - 27x + 54) \, dx $$ Найдем первообразную по формуле Ньютона — Лейбница: $$ S = \left. \left( \frac{x^4}{4} - \frac{27x^2}{2} + 54x \right) \right|_{-6}^{3} $$ Вычислим значение первообразной в верхнем пределе $x = 3$: $$ F(3) = \frac{3^4}{4} - \frac{27 \cdot 3^2}{2} + 54 \cdot 3 = \frac{81}{4} - \frac{243}{2} + 162 = \frac{81 - 486 + 648}{4} = \frac{243}{4} $$ Вычислим значение первообразной в нижнем пределе $x = -6$: $$ F(-6) = \frac{(-6)^4}{4} - \frac{27 \cdot (-6)^2}{2} + 54 \cdot (-6) = \frac{1296}{4} - \frac{27 \cdot 36}{2} - 324 = 324 - 486 - 324 = -486 $$ Найдем площадь: $$ S = F(3) - F(-6) = \frac{243}{4} - (-486) = \frac{243}{4} + \frac{1944}{4} = \frac{2187}{4} = 546\frac{3}{4} = 546{,}75 $$ Ответ: $546{,}75$ (или $546\frac{3}{4}$).