ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1100

**1)** Линии: $y = \cos x$, $x = \frac{\pi}{4}$, $y = 0$. Найдем точку пересечения графика функции $y = \cos x$ с осью абсцисс ($y = 0$) при $x \ge \frac{\pi}{4}$: $$ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} $$ На отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right]$ функция $y = \cos x \ge 0$, поэтому искомая площадь равна определенному интегралу: $$ S = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx $$ Применяем формулу Ньютона — Лейбница: $$ S = \left. \sin x \right|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\frac{\pi}{2} - \sin\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Ответ: $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$. --- **2)** Линии: $y = 3^x$, $x = -1$, $x = 1$, $y = 0$. Функция $y = 3^x > 0$ при всех $x$, следовательно, фигура представляет собой криволинейную трапецию на отрезке $[-1; 1]$. Ее площадь вычисляется по формуле: $$ S = \int_{-1}^{1} 3^x \, dx $$ Первообразная для показательной функции $a^x$ равна $\frac{a^x}{\ln a}$: $$ S = \left. \frac{3^x}{\ln 3} \right|_{-1}^{1} = \frac{3^1}{\ln 3} - \frac{3^{-1}}{\ln 3} = \frac{3 - \frac{1}{3}}{\ln 3} = \frac{\frac{8}{3}}{\ln 3} = \frac{8}{3\ln 3} $$ Ответ: $\frac{8}{3\ln 3}$. --- **3)** Линии: $y = 2\cos 3x - 5\sin 2x + 10$, $y = 0$, $x = -\frac{3\pi}{4}$, $x = \frac{5\pi}{4}$. Оценим значения функции $y(x)$: так как $|\cos 3x| \le 1$ и $|\sin 2x| \le 1$, то $$ y \ge -2 - 5 + 10 = 3 > 0 $$ График функции расположен выше оси абсцисс на всем отрезке интегрирования $\left[-\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}\right]$. Площадь фигуры равна: $$ S = \int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (2\cos 3x - 5\sin 2x + 10) \, dx $$ Найдем первообразную: $$ F(x) = \frac{2}{3}\sin 3x + \frac{5}{2}\cos 2x + 10x $$ Вычислим значения первообразной на концах отрезка: 1) При $x = \frac{5\pi}{4}$: $$ 3x = \frac{15\pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4} \implies \sin\frac{15\pi}{4} = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ 2x = \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} \implies \cos\frac{5\pi}{2} = 0 $$ $$ F\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \frac{2}{3}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \frac{5}{2} \cdot 0 + 10 \cdot \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{25\pi}{2} $$ 2) При $x = -\frac{3\pi}{4}$: $$ 3x = -\frac{9\pi}{4} = -2\pi - \frac{\pi}{4} \implies \sin\left(-\frac{9\pi}{4}\right) = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ 2x = -\frac{3\pi}{2} \implies \cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = 0 $$ $$ F\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{2}{3}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \frac{5}{2} \cdot 0 + 10 \cdot \left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{15\pi}{2} $$ Вычисляем площадь: $$ S = F\left(\frac{5\pi}{4}\right) - F\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{25\pi}{2}\right) - \left(-\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{15\pi}{2}\right) = \frac{25\pi}{2} + \frac{15\pi}{2} = \frac{40\pi}{2} = 20\pi $$ Ответ: $20\pi$.