ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1098

**1)** Линии: $y = \sqrt{x}$, $y = 2$, $x = 9$. 1. Найдем абсциссу точки пересечения графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2$: $$ \sqrt{x} = 2 \implies x = 4 $$ 2. Границами фигуры по оси $Ox$ являются прямые $x = 4$ и $x = 9$. На отрезке $[4; 9]$ график функции $y = \sqrt{x}$ расположен выше прямой $y = 2$, так как при любом $x \in (4; 9)$ выполняется $\sqrt{x} > 2$. 3. Вычислим площадь $S$ фигуры с помощью определенного интеграла: $$ S = \int_{4}^{9} (\sqrt{x} - 2) \, dx = \left. \left( \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x \right) \right|_{4}^{9} = \left. \left( \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2x \right) \right|_{4}^{9} $$ Подставим верхний и нижний пределы интегрирования по формуле Ньютона — Лейбница: $$ \left( \frac{2}{3} \cdot 9 \cdot 3 - 2 \cdot 9 \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 2 - 2 \cdot 4 \right) = (18 - 18) - \left( \frac{16}{3} - 8 \right) = 0 - \left( -\frac{8}{3} \right) = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} $$ **Ответ:** $2\frac{2}{3}$. --- **2)** Линии: $y = x^2 + 3$, $y = x + 5$. 1. Найдем абсциссы точек пересечения параболы $y = x^2 + 3$ и прямой $y = x + 5$: $$ x^2 + 3 = x + 5 $$ $$ x^2 - x - 2 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_1 = -1, \quad x_2 = 2 $$ 2. На отрезке $[-1; 2]$ прямая лежит выше параболы (например, при $x = 0$ значение $0 + 5 = 5$ больше, чем $0^2 + 3 = 3$). 3. Вычислим площадь $S$ фигуры: $$ S = \int_{-1}^{2} ((x + 5) - (x^2 + 3)) \, dx = \int_{-1}^{2} (2 + x - x^2) \, dx $$ Найдем первообразную и применим формулу Ньютона — Лейбница: $$ S = \left. \left( 2x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{-1}^{2} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ \left( 2 \cdot 2 + \frac{2^2}{2} - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 2 \cdot (-1) + \frac{(-1)^2}{2} - \frac{(-1)^3}{3} \right) = \left( 4 + 2 - \frac{8}{3} \right) - \left( -2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) $$ $$ = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20 + 7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4{,}5 $$ **Ответ:** $4{,}5$.