ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1064

**1064.** **1)** Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y = \ln x - x$ на отрезке $[0{,}5; 4]$. 1. Функция определена и непрерывна при $x > 0$, а значит, и на отрезке $[0{,}5; 4]$. 2. Найдем производную функции: $$ y' = (\ln x - x)' = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x} $$ 3. Найдем критические точки на интервале $(0{,}5; 4)$: $$ y' = 0 \implies \frac{1 - x}{x} = 0 \implies 1 - x = 0 \implies x = 1 $$ Точка $x = 1$ принадлежит отрезку $[0{,}5; 4]$. 4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: - при $x = 1$: $$ y(1) = \ln 1 - 1 = 0 - 1 = -1 $$ - при $x = 0{,}5$: $$ y(0{,}5) = \ln 0{,}5 - 0{,}5 = \ln\frac{1}{2} - 0{,}5 = -\ln 2 - 0{,}5 $$ - при $x = 4$: $$ y(4) = \ln 4 - 4 = \ln(2^2) - 4 = 2\ln 2 - 4 $$ 5. Сравним полученные значения: Так как $\ln 2 \approx 0{,}693$, оценим значения: - $y(1) = -1$; - $y(0{,}5) = -\ln 2 - 0{,}5 \approx -0{,}693 - 0{,}5 = -1{,}193 < -1$; - $y(4) = 2\ln 2 - 4 \approx 2 \cdot 0{,}693 - 4 = 1{,}386 - 4 = -2{,}614 < -1{,}193$. Строгое сравнение: - $y(1) - y(0{,}5) = -1 - (-\ln 2 - 0{,}5) = \ln 2 - 0{,}5 > 0$, так как $2 > \sqrt{e} \approx 1{,}65$; - $y(0{,}5) - y(4) = (-\ln 2 - 0{,}5) - (2\ln 2 - 4) = 3{,}5 - 3\ln 2 = \ln(e^{3{,}5}) - \ln 8 > 0$, так как $e^{3{,}5} > e^3 \approx 20{,}1 > 8$. Следовательно: $$ y_{\text{наиб}} = y(1) = -1 $$ $$ y_{\text{наим}} = y(4) = \ln 4 - 4 \quad (\text{или } 2\ln 2 - 4) $$ **Ответ к п. 1:** $y_{\text{наиб}} = -1$, $y_{\text{наим}} = \ln 4 - 4$. --- **2)** Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y = x\sqrt{1 - x^2}$ на отрезке $[0; 1]$. 1. Область определения функции задается условием $1 - x^2 \ge 0$, то есть $x \in [-1; 1]$. Функция непрерывна на отрезке $[0; 1]$. 2. Найдем производную функции по правилу дифференцирования произведения: $$ y' = (x)' \cdot \sqrt{1 - x^2} + x \cdot (\sqrt{1 - x^2})' = 1 \cdot \sqrt{1 - x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = \sqrt{1 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} $$ Приведем к общему знаменателю: $$ y' = \frac{1 - x^2 - x^2}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1 - 2x^2}{\sqrt{1 - x^2}} $$ 3. Найдем критические точки на интервале $(0; 1)$: $$ y' = 0 \implies 1 - 2x^2 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} $$ Интервалу $(0; 1)$ принадлежит только $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. 4. Вычислим значения функции в найденной критической точке и на концах отрезка: - при $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $$ y\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ - при $x = 0$: $$ y(0) = 0 \cdot \sqrt{1 - 0^2} = 0 $$ - при $x = 1$: $$ y(1) = 1 \cdot \sqrt{1 - 1^2} = 0 $$ 5. Сравнивая значения $0$ и $\frac{1}{2}$, получаем: $$ y_{\text{наиб}} = y\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{1}{2} $$ $$ y_{\text{наим}} = y(0) = y(1) = 0 $$ **Ответ к п. 2:** $y_{\text{наиб}} = \frac{1}{2}$, $y_{\text{наим}} = 0$.