ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1049

Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, если её угловой коэффициент равен нулю: $k = 0$. По геометрическому смыслу производной угловой коэффициент касательной в точке касания равен значению производной функции в этой точке, то есть: $$ y'(x) = 0 $$ 1. Найдём производную заданной функции: $$ y' = (4x^3 - 9x^2 + 6x + 1)' = 12x^2 - 18x + 6 $$ 2. Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение: $$ 12x^2 - 18x + 6 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на 6: $$ 2x^2 - 3x + 1 = 0 $$ Найдём корни через дискриминант: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 $$ $$ x_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 $$ $$ x_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0{,}5 $$ 3. Найдём соответствующие ординаты точек, подставив найденные значения $x$ в уравнение функции $y(x)$: - При $x = 1$: $$ y(1) = 4 \cdot 1^3 - 9 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 1 = 4 - 9 + 6 + 1 = 2 $$ Точка касания: $(1; 2)$. - При $x = 0{,}5$: $$ y(0{,}5) = 4 \cdot (0{,}5)^3 - 9 \cdot (0{,}5)^2 + 6 \cdot 0{,}5 + 1 = 4 \cdot 0{,}125 - 9 \cdot 0{,}25 + 3 + 1 = 0{,}5 - 2{,}25 + 4 = 2{,}25 $$ Точка касания: $(0{,}5; 2{,}25)$ или $\left(\frac{1}{2}; 2\frac{1}{4}\right)$. Ответ: $(1; 2)$, $(0{,}5; 2{,}25)$.