ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1052

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$ 1) $f(x) = x \ln 2x$, $x_0 = 0,5$ 1. Найдём значение функции в точке касания $x_0 = 0,5$: $$ f(0,5) = 0,5 \cdot \ln(2 \cdot 0,5) = 0,5 \cdot \ln 1 = 0,5 \cdot 0 = 0 $$ 2. Найдём производную функции по правилу дифференцирования произведения: $$ f'(x) = (x)' \cdot \ln 2x + x \cdot (\ln 2x)' = 1 \cdot \ln 2x + x \cdot \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = \ln 2x + x \cdot \frac{2}{2x} = \ln 2x + 1 $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0,5$: $$ f'(0,5) = \ln(2 \cdot 0,5) + 1 = \ln 1 + 1 = 0 + 1 = 1 $$ 4. Подставим найденные значения в формулу уравнения касательной: $$ y = 0 + 1 \cdot (x - 0,5) $$ $$ y = x - 0,5 $$ Ответ: $y = x - 0,5$. 2) $f(x) = 2^{-x}$, $x_0 = 1$ 1. Найдём значение функции в точке касания $x_0 = 1$: $$ f(1) = 2^{-1} = \frac{1}{2} $$ 2. Найдём производную функции как производную сложной показательной функции: $$ f'(x) = (2^{-x})' = 2^{-x} \cdot \ln 2 \cdot (-x)' = -2^{-x} \ln 2 $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $$ f'(1) = -2^{-1} \ln 2 = -\frac{\ln 2}{2} $$ 4. Подставим найденные значения в формулу уравнения касательной: $$ y = \frac{1}{2} - \frac{\ln 2}{2}(x - 1) $$ $$ y = -\frac{\ln 2}{2}x + \frac{1 + \ln 2}{2} $$ Ответ: $y = -\frac{\ln 2}{2}x + \frac{1 + \ln 2}{2}$ (или $y = \frac{1}{2} - \frac{\ln 2}{2}(x - 1)$).