ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1050

Пусть $x_0$ — абсцисса искомой точки, а $y_0$ — её ордината. Согласно геометрическому смыслу производной, угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной функции в точке касания, а также тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс: $$ k = y'(x_0) = \operatorname{tg} \alpha $$ По условию угол наклона равен $\alpha = \frac{\pi}{4}$. Вычислим тангенс этого угла: $$ \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1 $$ Следовательно, угловой коэффициент касательной равен $k = 1$. Найдём производную заданной функции $y = 3x^2 + 7x + 1$: $$ y' = (3x^2 + 7x + 1)' = 6x + 7 $$ Приравняем производную в точке $x_0$ к угловому коэффициенту касательной: $$ 6x_0 + 7 = 1 $$ $$ 6x_0 = 1 - 7 $$ $$ 6x_0 = -6 $$ $$ x_0 = -1 $$ Найдём ординату точки касания, подставив найденное значение $x_0 = -1$ в исходное уравнение параболы: $$ y_0 = 3 \cdot (-1)^2 + 7 \cdot (-1) + 1 = 3 \cdot 1 - 7 + 1 = -3 $$ Таким образом, искомая точка имеет координаты $(-1; -3)$. Ответ: $(-1; -3)$.