ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1035

**1035.** **1)** $y = 0,5 + \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ Область определения функции — вся числовая прямая: $D(y) = \mathbb{R}$. Множество значений функции синуса есть отрезок $[-1; 1]$, то есть для любого допустимого значения $x$ справедливо двойное неравенство: $$ -1 \le \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \le 1 $$ Прибавим ко всем частям неравенства $0,5$: $$ -1 + 0,5 \le 0,5 + \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \le 1 + 0,5 $$ $$ -0,5 \le y \le 1,5 $$ Таким образом, множество значений функции — отрезок $[-0,5; 1,5]$. Ответ: $E(y) = [-0,5; 1,5]$. --- **2)** $y = 0,5\cos x + \sin x$ Область определения функции: $D(y) = \mathbb{R}$. Преобразуем выражение с помощью метода вспомогательного угла. Запишем функцию в виде $y = \sin x + \frac{1}{2}\cos x$. Вынесем множитель $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$: $$ y = \frac{\sqrt{5}}{2} \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{5}}\cos x\right) $$ Так как $\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{4}{5} + \frac{1}{5} = 1$, существует такой угол $\varphi$, что $\cos\varphi = \frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\sin\varphi = \frac{1}{\sqrt{5}}$. Используя формулу синуса суммы $\sin(x + \varphi) = \sin x \cos\varphi + \cos x \sin\varphi$, получаем: $$ y = \frac{\sqrt{5}}{2}\sin(x + \varphi) $$ Так как для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется неравенство: $$ -1 \le \sin(x + \varphi) \le 1 $$ Умножим все части неравенства на положительное число $\frac{\sqrt{5}}{2}$: $$ -\frac{\sqrt{5}}{2} \le \frac{\sqrt{5}}{2}\sin(x + \varphi) \le \frac{\sqrt{5}}{2} $$ $$ -\frac{\sqrt{5}}{2} \le y \le \frac{\sqrt{5}}{2} $$ Таким образом, множество значений функции: $$ E(y) = \left[-\frac{\sqrt{5}}{2}; \frac{\sqrt{5}}{2}\right] $$ Ответ: $E(y) = \left[-\frac{\sqrt{5}}{2}; \frac{\sqrt{5}}{2}\right]$.