ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1032

**1032.** **1)** Найти область определения функции: $$ y = \sqrt{\log_3 \frac{2x + 1}{x - 6}} $$ Область определения функции задаётся условием неотрицательности подкоренного выражения и положительности аргумента логарифма: $$ \begin{cases} \log_3 \frac{2x + 1}{x - 6} \ge 0 \\ \frac{2x + 1}{x - 6} > 0 \end{cases} $$ Так как основание логарифма $3 > 1$, то неравенство $\log_3 \frac{2x + 1}{x - 6} \ge 0$ равносильно неравенству: $$ \frac{2x + 1}{x - 6} \ge 3^0 $$ $$ \frac{2x + 1}{x - 6} \ge 1 $$ (условие $\frac{2x + 1}{x - 6} > 0$ выполняется автоматически, так как дробь больше или равна единице). Решим полученное дробно-рациональное неравенство: $$ \frac{2x + 1}{x - 6} - 1 \ge 0 $$ $$ \frac{2x + 1 - (x - 6)}{x - 6} \ge 0 $$ $$ \frac{x + 7}{x - 6} \ge 0 $$ Применим метод интервалов: - нуль числителя: $x + 7 = 0 \implies x = -7$; - нуль знаменателя: $x - 6 = 0 \implies x = 6$. Отметим точки на числовой прямой (точка $x = -7$ закрашенная, $x = 6$ выколотая) и определим знаки дроби: - при $x > 6$: дробь положительна ($+$); - при $-7 < x < 6$: дробь отрицательна ($-$) ; - при $x < -7$: дробь положительна ($+$). Неравенству удовлетворяют промежутки, где выражение больше или равно нулю: $$ x \in (-\infty; -7] \cup (6; +\infty) $$ **Ответ:** $x \in (-\infty; -7] \cup (6; +\infty)$. --- **2)** Найти область определения функции: $$ y = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x - 3) - 1} $$ Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а аргумент логарифма — строго положительным: $$ \begin{cases} \log_{\frac{1}{2}}(x - 3) - 1 \ge 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} $$ Преобразуем первое неравенство системы: $$ \log_{\frac{1}{2}}(x - 3) \ge 1 $$ $$ \log_{\frac{1}{2}}(x - 3) \ge \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2} $$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция $y = \log_{\frac{1}{2}} t$ убывает, поэтому знак неравенства меняется на противоположный: $$ x - 3 \le \frac{1}{2} $$ Объединяя с условием $x - 3 > 0$, получаем двойное неравенство: $$ 0 < x - 3 \le \frac{1}{2} $$ Прибавим $3$ ко всем частям неравенства: $$ 3 < x \le 3 + \frac{1}{2} $$ $$ 3 < x \le 3,5 $$ Таким образом, $x \in (3; 3,5]$. **Ответ:** $x \in (3; 3,5]$.