ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1034

**1)** $y = x^2 + 6x + 3$ Данная функция является квадратичной, её графиком служит парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 1 > 0$). Выделим полный квадрат: $$ y = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 3 = (x + 3)^2 - 6 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то: $$ (x + 3)^2 \ge 0 $$ $$ (x + 3)^2 - 6 \ge -6 $$ Наименьшее значение функции достигается при $x = -3$ и равно $-6$. Ответ: $E(y) = [-6; +\infty)$. --- **2)** $y = -2x^2 + 8x - 1$ Данная функция является квадратичной, её график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -2 < 0$). Выделим полный квадрат: $$ y = -2(x^2 - 4x) - 1 = -2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 1 $$ $$ y = -2(x - 2)^2 + 8 - 1 = -2(x - 2)^2 + 7 $$ Так как $-2(x - 2)^2 \le 0$ при любых действительных $x$, получаем: $$ -2(x - 2)^2 + 7 \le 7 $$ Наибольшее значение функции достигается при $x = 2$ и равно $7$. Ответ: $E(y) = (-\infty; 7]$. --- **3)** $y = e^x + 1$ Область определения функции — вся числовая прямая: $x \in \mathbb{R}$. Показательная функция $e^x$ принимает только строго положительные значения при всех $x \in \mathbb{R}$, то есть: $$ e^x > 0 $$ Прибавим к обеим частям неравенства $1$: $$ e^x + 1 > 1 $$ Так как при $x \to -\infty$ значение $e^x \to 0$ (функция неограниченно приближается к $1$, оставаясь больше неё), а при $x \to +\infty$ значение $e^x \to +\infty$, непрерывная функция $y = e^x + 1$ принимает любые значения, большие $1$. Ответ: $E(y) = (1; +\infty)$. --- **4)** $y = 2 + \frac{2}{x}$ Область определения функции: $x \ne 0$. Дробь $\frac{2}{x}$ может принимать любое действительное значение, кроме нуля: $$ \frac{2}{x} \ne 0 $$ Следовательно: $$ y \ne 2 + 0 \implies y \ne 2 $$ Выразим переменную $x$ через $y$: $$ y - 2 = \frac{2}{x} \implies x = \frac{2}{y - 2} $$ Данное уравнение имеет решение для любого $y$, кроме $y = 2$. Таким образом, функция принимает любые значения, кроме $2$. Ответ: $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.