ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1037

**1037.** **1)** $y = \sin x \cdot \cos x$ Преобразуем выражение с помощью тригонометрической формулы синуса двойного угла: $$ \sin 2x = 2\sin x \cos x \implies \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x $$ Тогда заданная функция принимает вид: $$ y = \frac{1}{2}\sin 2x $$ Так как для любого действительного $x$ справедливо неравенство: $$ -1 \le \sin 2x \le 1 $$ Умножим все части неравенства на $\frac{1}{2}$: $$ -\frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\sin 2x \le \frac{1}{2} $$ $$ -0,5 \le y \le 0,5 $$ Следовательно, множеством значений функции является отрезок $[-0,5; 0,5]$. **Ответ:** $E(y) = [-0,5; 0,5]$ (или $\left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]$). --- **2)** $y = \log_2(x^2 + 2)$ Для любого $x \in \mathbb{R}$ квадрат числа неотрицателен: $$ x^2 \ge 0 $$ Прибавим $2$ к обеим частям неравенства: $$ x^2 + 2 \ge 2 $$ Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция $t \mapsto \log_2 t$ является строго возрастающей на промежутке $(0; +\infty)$. Поэтому при $t = x^2 + 2 \ge 2$ получаем: $$ \log_2(x^2 + 2) \ge \log_2 2 $$ $$ y \ge 1 $$ Наименьшее значение функции равно $1$ (достигается при $x = 0$). Так как выражение $x^2 + 2$ может принимать сколь угодно большие значения, функция не ограничена сверху. Следовательно, множеством значений функции является промежуток $[1; +\infty)$. **Ответ:** $E(y) = [1; +\infty)$.