ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1038

Дана функция: $$ y = 6\cos^2 x + 6\sin x - 2 $$ Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, выразим функцию через $\sin x$: $$ y = 6(1 - \sin^2 x) + 6\sin x - 2 $$ $$ y = 6 - 6\sin^2 x + 6\sin x - 2 $$ $$ y = -6\sin^2 x + 6\sin x + 4 $$ Пусть $t = \sin x$. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $t \in [-1; 1]$. Получаем квадратичную функцию: $$ f(t) = -6t^2 + 6t + 4, \quad t \in [-1; 1] $$ Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (старший коэффициент $a = -6 < 0$). Следовательно, наибольшее значение функция принимает в вершине параболы: $$ t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-6)} = \frac{1}{2} $$ Точка $t_0 = \frac{1}{2}$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$, значит, функция $y$ принимает наибольшее значение при: $$ \sin x = \frac{1}{2} $$ Решим полученное тригонометрическое уравнение: $$ x = (-1)^k \arcsin\frac{1}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.