ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1016

### 1) $y = \sqrt{x^2 - 9x - 10}$ 1. Найдем область определения функции: выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $$ x^2 - 9x - 10 \ge 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 9x - 10 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = -1$, $x_2 = 10$. Разложим на множители: $$ (x + 1)(x - 10) \ge 0 $$ Отсюда область определения: $D(y) = (-\infty; -1] \cup [10; +\infty)$. 2. Найдем производную функции: $$ y' = \frac{(x^2 - 9x - 10)'}{2\sqrt{x^2 - 9x - 10}} = \frac{2x - 9}{2\sqrt{x^2 - 9x - 10}} $$ Производная определена при $x \in (-\infty; -1) \cup (10; +\infty)$. 3. Функция возрастает на промежутках, где $y' > 0$: $$ \frac{2x - 9}{2\sqrt{x^2 - 9x - 10}} > 0 $$ Так как знаменатель положителен при всех допустимых значениях $x$, знак дроби совпадает со знаком числителя: $$ 2x - 9 > 0 \implies x > 4{,}5 $$ С учетом области определения получаем $x \in (10; +\infty)$. Так как исходная функция непрерывна в точке $x = 10$, граничная точка включается в промежуток возрастания: $[10; +\infty)$. **Ответ:** при $x \in [10; +\infty)$ (или $x \ge 10$). --- ### 2) $y = \sqrt{7 - 6x - x^2}$ 1. Найдем область определения функции: $$ 7 - 6x - x^2 \ge 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$: $$ x^2 + 6x - 7 \le 0 $$ Корни уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$: $x_1 = -7$, $x_2 = 1$. $$ (x + 7)(x - 1) \le 0 \implies x \in [-7; 1] $$ Область определения: $D(y) = [-7; 1]$. 2. Найдем производную функции: $$ y' = \frac{(7 - 6x - x^2)'}{2\sqrt{7 - 6x - x^2}} = \frac{-6 - 2x}{2\sqrt{7 - 6x - x^2}} = \frac{-(x + 3)}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} $$ 3. Функция возрастает там, где $y' > 0$: $$ \frac{-(x + 3)}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} > 0 $$ Знаменатель положителен при $x \in (-7; 1)$, следовательно: $$ -(x + 3) > 0 \implies x + 3 < 0 \implies x < -3 $$ Пересекая с областью определения, получаем $(-7; -3)$. С учетом непрерывности функции на отрезке $[-7; 1]$, точки $x = -7$ и $x = -3$ включаются в промежуток возрастания. **Ответ:** при $x \in [-7; -3]$. --- ### 3) $y = \frac{x - 3}{x - 4}$ 1. Область определения: знаменатель не равен нулю, то есть $x - 4 \ne 0 \implies x \ne 4$. $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$. 2. Найдем производную по правилу дифференцирования частного: $$ y' = \frac{(x - 3)'(x - 4) - (x - 3)(x - 4)'}{(x - 4)^2} = \frac{1 \cdot (x - 4) - (x - 3) \cdot 1}{(x - 4)^2} = \frac{x - 4 - x + 3}{(x - 4)^2} = \frac{-1}{(x - 4)^2} $$ 3. Так как при любых допустимых $x$ выражение $(x - 4)^2 > 0$, то $y' = -\frac{1}{(x - 4)^2} < 0$ на всей области определения. Следовательно, функция убывает на каждом из интервалов $(-\infty; 4)$ и $(4; +\infty)$ и не возрастает ни при каких значениях $x$. **Ответ:** таких значений $x$ нет. --- ### 4) $y = \frac{x - 5}{x - 6}$ 1. Область определения: $x - 6 \ne 0 \implies x \ne 6$. $D(y) = (-\infty; 6) \cup (6; +\infty)$. 2. Найдем производную: $$ y' = \frac{(x - 5)'(x - 6) - (x - 5)(x - 6)'}{(x - 6)^2} = \frac{1 \cdot (x - 6) - (x - 5) \cdot 1}{(x - 6)^2} = \frac{x - 6 - x + 5}{(x - 6)^2} = \frac{-1}{(x - 6)^2} $$ 3. При всех $x \ne 6$ знаменатель $(x - 6)^2 > 0$, поэтому $y' < 0$. Функция убывает на всей области определения. **Ответ:** таких значений $x$ нет. --- ### 5) $y = \frac{1}{x^2 - 4}$ 1. Область определения: знаменатель не равен нулю: $$ x^2 - 4 \ne 0 \implies x \ne \pm 2 $$ $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$. 2. Найдем производную: $$ y' = -\frac{(x^2 - 4)'}{(x^2 - 4)^2} = -\frac{2x}{(x^2 - 4)^2} $$ 3. Функция возрастает, если $y' > 0$: $$ -\frac{2x}{(x^2 - 4)^2} > 0 $$ Поскольку знаменатель $(x^2 - 4)^2 > 0$ при всех $x$ из области определения, неравенство сводится к: $$ -2x > 0 \implies x < 0 $$ Учитывая область определения и непрерывность функции в точке $x = 0$, получаем промежутки возрастания: $(-\infty; -2)$ и $(-2; 0]$. **Ответ:** при $x \in (-\infty; -2)$ и $x \in (-2; 0]$. --- ### 6) $y = \frac{3}{x^2 + 3x - 4}$ 1. Область определения: $$ x^2 + 3x - 4 \ne 0 $$ Корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$: $x_1 = -4$, $x_2 = 1$. $D(y) = (-\infty; -4) \cup (-4; 1) \cup (1; +\infty)$. 2. Найдем производную: $$ y' = -\frac{3 \cdot (x^2 + 3x - 4)'}{(x^2 + 3x - 4)^2} = -\frac{3(2x + 3)}{(x^2 + 3x - 4)^2} $$ 3. Функция возрастает, если $y' > 0$: $$ -\frac{3(2x + 3)}{(x^2 + 3x - 4)^2} > 0 $$ Так как знаменатель строго положителен на всей области определения: $$ -3(2x + 3) > 0 \implies 2x + 3 < 0 \implies x < -1{,}5 $$ С учетом области определения и непрерывности в точке $x = -1{,}5$, функция возрастает на промежутках $(-\infty; -4)$ и $(-4; -1{,}5]$. **Ответ:** при $x \in (-\infty; -4)$ и $x \in (-4; -1{,}5]$.