ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1019

1) $y = \cos 3x$ Основной период функции $y = \cos x$ равен $2\pi$. Для функции вида $y = \cos kx$ наименьший положительный период находится по формуле: $$ T = \frac{2\pi}{|k|} $$ В данном случае $k = 3$: $$ T = \frac{2\pi}{3} $$ **Ответ:** $\frac{2\pi}{3}$. 2) $y = \sin \frac{x}{5}$ Основной период функции $y = \sin x$ равен $2\pi$. Для функции вида $y = \sin kx$ наименьший положительный период находится по формуле: $$ T = \frac{2\pi}{|k|} $$ В данном случае $k = \frac{1}{5}$: $$ T = \frac{2\pi}{\frac{1}{5}} = 2\pi \cdot 5 = 10\pi $$ **Ответ:** $10\pi$. 3) $y = \operatorname{tg} 5x$ Основной период функции $y = \operatorname{tg} x$ равен $\pi$. Для функции вида $y = \operatorname{tg} kx$ наименьший положительный период вычисляется по формуле: $$ T = \frac{\pi}{|k|} $$ В данном случае $k = 5$: $$ T = \frac{\pi}{5} $$ **Ответ:** $\frac{\pi}{5}$. 4) $y = \sin x + \operatorname{tg} x$ Пусть $f(x) = \sin x + \operatorname{tg} x$. Найдем наименьшие положительные периоды каждого из слагаемых: - для функции $y_1 = \sin x$ период равен $T_1 = 2\pi$; - для функции $y_2 = \operatorname{tg} x$ период равен $T_2 = \pi$. Область определения функции $f(x)$ задается условием $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Точки разрыва функции (вертикальные асимптоты) повторяются с шагом $\pi$, следовательно, любой возможный период функции $f(x)$ должен быть кратен $\pi$, то есть $T = m\pi$, где $m \in \mathbb{N}$. Проверим значение $T = \pi$ ($m = 1$): $$ f(x + \pi) = \sin(x + \pi) + \operatorname{tg}(x + \pi) = -\sin x + \operatorname{tg} x \neq f(x) $$ Значит, число $\pi$ не является периодом функции. Проверим следующее положительное кратное $T = 2\pi$ ($m = 2$): $$ f(x + 2\pi) = \sin(x + 2\pi) + \operatorname{tg}(x + 2\pi) = \sin x + \operatorname{tg} x = f(x) $$ Число $2\pi$ удовлетворяет равенству $f(x + T) = f(x)$ для всех допустимых значений $x$ и является наименьшим положительным периодом. **Ответ:** $2\pi$.