ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1017

**1)** $y = 2^{5x - 1}$ 1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: $D(y) = \mathbb{R}$. 2. Функция $y = f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T \neq 0$, что для любого $x \in D(f)$ выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$. 3. Предположим, что данная функция является периодической с периодом $T \neq 0$. Тогда для всех $x \in \mathbb{R}$ должно выполняться равенство: $$ 2^{5(x + T) - 1} = 2^{5x - 1} $$ Преобразуем левую часть: $$ 2^{5x - 1 + 5T} = 2^{5x - 1} $$ $$ 2^{5x - 1} \cdot 2^{5T} = 2^{5x - 1} $$ Разделим обе части равенства на $2^{5x - 1} \neq 0$: $$ 2^{5T} = 1 $$ Так как $2^0 = 1$, а показательная функция $y = 2^t$ строго монотонна, получаем: $$ 5T = 0 \implies T = 0 $$ Это противоречит условию $T \neq 0$. Следовательно, ненулевого периода не существует. Функция не является периодической. --- **2)** $y = 2^{\sqrt{\cos^2 x - 1}}$ 1. Найдём область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $$ \cos^2 x - 1 \ge 0 \iff \cos^2 x \ge 1 $$ Так как для любого $x \in \mathbb{R}$ справедливо неравенство $|\cos x| \le 1$, то $\cos^2 x \le 1$. Следовательно, неравенство $\cos^2 x \ge 1$ выполняется только в случае: $$ \cos^2 x = 1 \iff \cos x = \pm 1 \iff x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Область определения функции представляет собой множество точек: $$ D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x = \pi k, \ k \in \mathbb{Z}\} $$ 2. Для всех $x \in D(y)$ значение подкоренного выражения равно нулю, откуда: $$ y = 2^{\sqrt{0}} = 2^0 = 1 $$ 3. Проверим определение периодической функции для $T = \pi \neq 0$: * если $x \in D(y)$, то есть $x = \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$), то $x + \pi = \pi(k + 1) \in D(y)$ и $x - \pi = \pi(k - 1) \in D(y)$; * значение функции в этих точках одинаково: $f(x + \pi) = 1 = f(x)$. Значит, функция является периодической (с периодом $T = \pi$). --- **Ответ:** 1) не является периодической; 2) является периодической.