ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1013

1) $y = f(x) = 2^x + 2^{-x}$. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Область определения симметрична относительно начала координат. Найдем $f(-x)$: $$ f(-x) = 2^{-x} + 2^{-(-x)} = 2^{-x} + 2^x = 2^x + 2^{-x} = f(x) $$ Так как $f(-x) = f(x)$ для любого $x \in D(f)$, данная функция является чётной. 2) $y = f(x) = 3^x - 3^{-x}$. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$ — симметрична относительно начала координат. Найдем $f(-x)$: $$ f(-x) = 3^{-x} - 3^{-(-x)} = 3^{-x} - 3^x = -(3^x - 3^{-x}) = -f(x) $$ Так как $f(-x) = -f(x)$ для любого $x \in D(f)$, данная функция является нечётной. 3) $y = f(x) = \ln \frac{3 + x}{3 - x}$. Найдем область определения функции: $$ \frac{3 + x}{3 - x} > 0 \iff \frac{x + 3}{x - 3} < 0 \iff x \in (-3; 3) $$ Область определения $D(f) = (-3; 3)$ симметрична относительно начала координат. Найдем $f(-x)$: $$ f(-x) = \ln \frac{3 + (-x)}{3 - (-x)} = \ln \frac{3 - x}{3 + x} = \ln \left( \frac{3 + x}{3 - x} \right)^{-1} = -\ln \frac{3 + x}{3 - x} = -f(x) $$ Так как $f(-x) = -f(x)$ для любого $x \in D(f)$, данная функция является нечётной. 4) $y = f(x) = \left| \ln \frac{5 + x}{5 - x} \right|$. Найдем область определения функции: $$ \frac{5 + x}{5 - x} > 0 \iff \frac{x + 5}{x - 5} < 0 \iff x \in (-5; 5) $$ Область определения $D(f) = (-5; 5)$ симметрична относительно начала координат. Найдем $f(-x)$: $$ f(-x) = \left| \ln \frac{5 + (-x)}{5 - (-x)} \right| = \left| \ln \frac{5 - x}{5 + x} \right| = \left| \ln \left( \frac{5 + x}{5 - x} \right)^{-1} \right| = \left| -\ln \frac{5 + x}{5 - x} \right| = \left| \ln \frac{5 + x}{5 - x} \right| = f(x) $$ Так как $f(-x) = f(x)$ для любого $x \in D(f)$, данная функция является чётной. Ответ: 1) чётная; 2) нечётная; 3) нечётная; 4) чётная.