ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1010

Чтобы выяснить, пересекаются ли графики функций, составим уравнение, приравняв правые части их формул, и определим, имеет ли полученное уравнение действительные корни. 1) $y = x^2$ и $y = x + 6$ Приравняем правые части формул: $$ x^2 = x + 6 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ x^2 - x - 6 = 0 $$ Найдем дискриминант квадратного уравнения: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 $$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня: $$ x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3 $$ $$ x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2 $$ Уравнение имеет решения, следовательно, графики функций пересекаются (в двух точках). 2) $y = \frac{3}{x}$ и $y = 4(x + 1)$ Область определения первой функции: $x \neq 0$. Приравняем правые части: $$ \frac{3}{x} = 4(x + 1) $$ Умножим обе части уравнения на $x$ при условии $x \neq 0$: $$ 3 = 4x(x + 1) $$ $$ 3 = 4x^2 + 4x $$ $$ 4x^2 + 4x - 3 = 0 $$ Вычислим дискриминант: $$ D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 $$ Так как $D > 0$, найдем корни уравнения: $$ x_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $$ $$ x_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 - 8}{8} = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2} $$ Оба корня отличны от нуля ($x \neq 0$), следовательно, графики функций пересекаются (в двух точках). 3) $y = \frac{1}{8}x^2$ и $y = \frac{1}{x}$ Область определения второй функции: $x \neq 0$. Приравняем выражения: $$ \frac{1}{8}x^2 = \frac{1}{x} $$ Умножим обе части уравнения на $8x$ при $x \neq 0$: $$ x^3 = 8 $$ $$ x = \sqrt[3]{8} = 2 $$ Корень $x = 2$ удовлетворяет условию $x \neq 0$. Значит, графики функций пересекаются (в одной точке). 4) $y = 2x - 1$ и $y = \frac{1}{x}$ Область определения второй функции: $x \neq 0$. Составим уравнение: $$ 2x - 1 = \frac{1}{x} $$ Умножим обе части уравнения на $x$ при $x \neq 0$: $$ x(2x - 1) = 1 $$ $$ 2x^2 - x - 1 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 $$ Так как $D > 0$, корни равны: $$ x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1 $$ $$ x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} $$ Оба значения удовлетворяют условию $x \neq 0$. Следовательно, графики функций пересекаются (в двух точках). **Ответ:** 1) пересекаются; 2) пересекаются; 3) пересекаются; 4) пересекаются.