ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1009

Введём прямоугольную систему координат на плоскости: * начало координат $O(0; 0)$ поместим в начальную точку нахождения корабля $A$; * ось $Ox$ направим на восток; * ось $Oy$ направим на север. Так как в начальный момент времени ($t = 0$) корабль $A$ находится в 5 милях к западу от корабля $B$, то корабль $B$ находится в 5 милях к востоку от корабля $A$, то есть в точке с координатами $(5; 0)$. Запишем закон движения каждого корабля в зависимости от времени $t$ (в часах, $t \ge 0$): * Корабль $A$ движется на юг со скоростью $3$ мили в час, его координаты в момент времени $t$: $$x_A(t) = 0, \quad y_A(t) = -3t$$ * Корабль $B$ движется на запад со скоростью $4$ мили в час, его координаты в момент времени $t$: $$x_B(t) = 5 - 4t, \quad y_B(t) = 0$$ Найдём квадрат расстояния между кораблями $d^2(t)$ в момент времени $t$: $$d^2(t) = (x_B(t) - x_A(t))^2 + (y_B(t) - y_A(t))^2$$ $$d^2(t) = (5 - 4t - 0)^2 + (0 - (-3t))^2 = (5 - 4t)^2 + (3t)^2$$ $$d^2(t) = 25 - 40t + 16t^2 + 9t^2 = 25t^2 - 40t + 25$$ Исследуем функцию $f(t) = 25t^2 - 40t + 25$ на наименьшее значение при $t \ge 0$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх ($a = 25 > 0$). Следовательно, наименьшее значение достигается в вершине параболы: $$t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-40}{2 \cdot 25} = \frac{40}{50} = 0{,}8\text{ (ч)}$$ Вычислим квадрат наименьшего расстояния: $$f(0{,}8) = 25 \cdot (0{,}8)^2 - 40 \cdot 0{,}8 + 25 = 25 \cdot 0{,}64 - 32 + 25 = 16 - 32 + 25 = 9$$ Тогда наименьшее расстояние между кораблями составляет: $$d_{\min} = \sqrt{9} = 3\text{ (мили)}$$ По условию сигнал можно различить только на расстоянии не более 1 мили. Так как минимальное возможное расстояние между кораблями равно 3 милям, а $3 > 1$, корабли не приблизятся на расстояние, достаточное для приёма сигнала. Ответ: нет, не будут.