ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1006

1) Графиком функции $y = -2x^2 + 3x + 2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как старший коэффициент $a = -2 < 0$. Для построения графика найдём ключевые точки: * Координаты вершины параболы $(x_в; y_в)$: $$ x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-2)} = \frac{3}{4} = 0{,}75 $$ $$ y_в = -2 \cdot (0{,}75)^2 + 3 \cdot 0{,}75 + 2 = -2 \cdot 0{,}5625 + 2{,}25 + 2 = 3{,}125 $$ Точка вершины: $(0{,}75; 3{,}125)$. * Точки пересечения с осью $Ox$ ($y = 0$): $$ -2x^2 + 3x + 2 = 0 $$ $$ 2x^2 - 3x - 2 = 0 $$ $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 $$ $$ x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2, \quad x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -0{,}5 $$ Точки пересечения с осью абсцисс: $(-0{,}5; 0)$ и $(2; 0)$. * Точка пересечения с осью $Oy$ ($x = 0$): $y = -2 \cdot 0^2 + 3 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка: $(0; 2)$. * Дополнительные точки: * при $x = 1$: $y = -2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + 2 = 3$; * при $x = 0{,}5$: $y = -2 \cdot (0{,}5)^2 + 3 \cdot 0{,}5 + 2 = 3$; * при $x = -1$: $y = -2 \cdot (-1)^2 + 3 \cdot (-1) + 2 = -3$; * при $x = 2{,}5$: $y = -2 \cdot (2{,}5)^2 + 3 \cdot 2{,}5 + 2 = -3$. По найденным точкам строим параболу. Значения $x$, при которых $y(x) < 0$, соответствуют участкам графика, расположенным ниже оси $Ox$: $$ x \in (-\infty; -0{,}5) \cup (2; +\infty) $$ 2) Найдём производную функции: $$ y' = (-2x^2 + 3x + 2)' = -4x + 3 $$ Оценим знак производной на отрезке $[1; 2]$. Для любого $x \in [1; 2]$: $$ 1 \le x \le 2 \implies -8 \le -4x \le -4 \implies -5 \le -4x + 3 \le -1 $$ Таким образом, для всех $x \in (1; 2)$ выполняется неравенство $y'(x) < 0$, а сама функция непрерывна на отрезке $[1; 2]$. Следовательно, функция $y = -2x^2 + 3x + 2$ убывает на промежутке $[1; 2]$, что и требовалось доказать. 3) Так как графиком квадратичной функции является парабола с ветвями, направленными вниз ($a = -2 < 0$), своё наибольшее значение функция принимает в вершине параболы: $$ x = x_в = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{4} = 0{,}75 $$ 4) График функции $y = -2x^2 + 3x + 2$ лежит ниже графика функции $y = 3x + 2$ при тех значениях $x$, для которых выполняется неравенство: $$ -2x^2 + 3x + 2 < 3x + 2 $$ Перенесём все члены в левую часть: $$ -2x^2 < 0 $$ Разделим обе части неравенства на $-2$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ x^2 > 0 $$ Данное неравенство выполняется при всех действительных $x$, кроме $x = 0$. Таким образом, $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. 5) Найдём абсциссы точек касания, решив уравнение при $y = 3$: $$ -2x^2 + 3x + 2 = 3 $$ $$ -2x^2 + 3x - 1 = 0 $$ $$ 2x^2 - 3x + 1 = 0 $$ $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 $$ $$ x_1 = \frac{3 - 1}{4} = 0{,}5, \quad x_2 = \frac{3 + 1}{4} = 1 $$ Уравнение касательной к графику функции в точке $x_0$ имеет вид: $$ y = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0) $$ По условию ордината точек касания $y(x_0) = 3$. Производная функции равна $y'(x) = -4x + 3$. * Для точки с абсциссой $x_1 = 0{,}5$: $$ y'(0{,}5) = -4 \cdot 0{,}5 + 3 = 1 $$ Уравнение касательной: $$ y = 3 + 1 \cdot (x - 0{,}5) = x + 2{,}5 $$ * Для точки с абсциссой $x_2 = 1$: $$ y'(1) = -4 \cdot 1 + 3 = -1 $$ Уравнение касательной: $$ y = 3 + (-1) \cdot (x - 1) = -x + 4 $$