ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1005

1) Для построения графика квадратичной функции $y = x^2 - 2x - 3$ определим её ключевые точки: Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 1 > 0$). Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 $$ $$ y_0 = y(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 $$ Вершина параболы находится в точке $(1; -4)$, а прямая $x = 1$ является осью симметрии параболы. Найдем точки пересечения параболы с осью $Ox$ ($y = 0$): $$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$. Точки пересечения с осью $Ox$: $(-1; 0)$ и $(3; 0)$. Найдем точку пересечения с осью $Oy$ ($x = 0$): $$ y(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3 $$ Точка пересечения: $(0; -3)$. Симметричная ей относительно прямой $x = 1$ точка: $(2; -3)$. Дополнительные точки для построения: при $x = -2$: $y = (-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 3 = 5$, точка $(-2; 5)$; при $x = 4$: $y = 4^2 - 2 \cdot 4 - 3 = 5$, точка $(4; 5)$. По найденным точкам строим параболу: вершина в $(1; -4)$, проходит через точки $(-2; 5)$, $(-1; 0)$, $(0; -3)$, $(2; -3)$, $(3; 0)$, $(4; 5)$. Найдем значения $x$, при которых $y(x) < 0$: По графику часть параболы лежит ниже оси $Ox$ между её нулями, то есть при: $$ x^2 - 2x - 3 < 0 \iff (x + 1)(x - 3) < 0 \iff x \in (-1; 3) $$ Ответ: $x \in (-1; 3)$. --- 2) Докажем, что функция возрастает на промежутке $[1; 4]$. Найдем производную функции $y(x)$: $$ y' = (x^2 - 2x - 3)' = 2x - 2 $$ Исследуем знак производной на интервале $(1; 4)$: при $x > 1$ получаем $2x > 2$, следовательно: $$ y' = 2x - 2 > 0 $$ Так как функция $y = x^2 - 2x - 3$ непрерывна на отрезке $[1; 4]$ и её производная $y' > 0$ на интервале $(1; 4)$, то по признаку возрастания функции она строго возрастает на промежутке $[1; 4]$, что и требовалось доказать. --- 3) Найдем значение $x$, при котором функция принимает наименьшее значение. Так как графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх ($a = 1 > 0$), функция принимает наименьшее значение на всей числовой прямой в своей вершине: $$ x = x_0 = -\frac{b}{2a} = 1 $$ Ответ: $x = 1$. --- 4) График функции $y = x^2 - 2x - 3$ лежит выше графика функции $y = -2x + 1$, если выполняется неравенство: $$ x^2 - 2x - 3 > -2x + 1 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства: $$ x^2 - 2x - 3 + 2x - 1 > 0 $$ $$ x^2 - 4 > 0 $$ $$ (x - 2)(x + 2) > 0 $$ Решая методом интервалов, получаем: $$ x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) $$ Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$. --- 5) Составим уравнение касательной к параболе $y = x^2 - 2x - 3$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$. Общий вид уравнения касательной: $$ y = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0) $$ 1. Вычислим значение функции в точке касания: $$ y(x_0) = y(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 4 - 3 = -3 $$ 2. Найдем значение производной в точке касания: $$ y'(x) = 2x - 2 $$ $$ y'(x_0) = y'(2) = 2 \cdot 2 - 2 = 2 $$ 3. Подставим найденные значения в уравнение касательной: $$ y = -3 + 2(x - 2) $$ $$ y = -3 + 2x - 4 $$ $$ y = 2x - 7 $$ Ответ: $y = 2x - 7$.