ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1004

**1)** Дана функция $y = 2 - |x|$. Для построения графика раскроем знак модуля по определению: $$ y = \begin{cases} 2 - x, & \text{при } x \ge 0, \\ 2 + x, & \text{при } x < 0. \end{cases} $$ Графиком является ломаная линия с вершиной в точке $(0; 2)$, ветви которой направлены вниз: * при $x \ge 0$ строим луч прямой $y = 2 - x$, проходящий через точки $(0; 2)$, $(2; 0)$, $(3; -1)$; * при $x < 0$ строим луч прямой $y = 2 + x$, проходящий через точки $(-2; 0)$, $(-3; -1)$. Выясним, пересекает ли график прямую $y = 3$. Составим уравнение: $$ 2 - |x| = 3 $$ $$ |x| = -1 $$ Так как модуль числа принимает только неотрицательные значения ($|x| \ge 0$), данное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, график функции $y = 2 - |x|$ не пересекает прямую $y = 3$. --- **2)** Дана функция $y = |2 - x|$. По свойствам модуля $|2 - x| = |x - 2|$. Раскроем модуль: $$ y = \begin{cases} 2 - x, & \text{при } x \le 2, \\ x - 2, & \text{при } x > 2. \end{cases} $$ График представляет собой угол («галочку») с вершиной в точке $(2; 0)$, ветви которого направлены вверх: * при $x \le 2$ строим луч прямой $y = 2 - x$, проходящий через точки $(2; 0)$, $(0; 2)$, $(-1; 3)$; * при $x > 2$ строим луч прямой $y = x - 2$, проходящий через точки $(2; 0)$, $(3; 1)$, $(4; 2)$, $(5; 3)$. Выясним, пересекает ли график прямую $y = 3$. Составим уравнение: $$ |2 - x| = 3 $$ Отсюда получаем два случая: $$ 2 - x = 3 \quad \text{или} \quad 2 - x = -3 $$ $$ x = -1 \quad \text{или} \quad x = 5 $$ Оба значения дают $y = 3$. Следовательно, график функции пересекает прямую $y = 3$ в точках $(-1; 3)$ и $(5; 3)$. --- **3)** Дана функция $y = |2 - x| + |x - 3|$. Нулями подмодульных выражений являются числа $x = 2$ и $x = 3$. Разобьем числовую прямую на три промежутка и раскроем модули: 1. При $x \le 2$: $2 - x \ge 0 \implies |2 - x| = 2 - x$; $x - 3 \le 0 \implies |x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. $$ y = (2 - x) + (3 - x) = 5 - 2x $$ 2. При $2 < x < 3$: $2 - x < 0 \implies |2 - x| = -(2 - x) = x - 2$; $x - 3 < 0 \implies |x - 3| = 3 - x$. $$ y = (x - 2) + (3 - x) = 1 $$ 3. При $x \ge 3$: $2 - x \le 0 \implies |2 - x| = x - 2$; $x - 3 \ge 0 \implies |x - 3| = x - 3$. $$ y = (x - 2) + (x - 3) = 2x - 5 $$ Запишем функцию в кусочно-заданном виде: $$ y = \begin{cases} 5 - 2x, & \text{при } x \le 2, \\ 1, & \text{при } 2 < x < 3, \\ 2x - 5, & \text{при } x \ge 3. \end{cases} $$ График строится по частям: * луч $y = 5 - 2x$ при $x \le 2$, проходящий через точки $(0; 5)$, $(1; 3)$ и заканчивающийся в точке $(2; 1)$; * горизонтальный отрезок $y = 1$, соединяющий точки $(2; 1)$ и $(3; 1)$; * луч $y = 2x - 5$ при $x \ge 3$, начинающийся в точке $(3; 1)$ и проходящий через точки $(4; 3)$, $(5; 5)$. Выясним, пересекает ли график прямую $y = 3$. Решим уравнение $y = 3$ на каждом промежутке: * при $x \le 2$: $$ 5 - 2x = 3 \implies 2x = 2 \implies x = 1 $$ Значение $x = 1$ удовлетворяет условию $x \le 2$. Получаем точку $(1; 3)$. * при $2 < x < 3$: $$ 1 = 3 $$ Равенство неверно, на данном интервале решений нет. * при $x \ge 3$: $$ 2x - 5 = 3 \implies 2x = 8 \implies x = 4 $$ Значение $x = 4$ удовлетворяет условию $x \ge 3$. Получаем точку $(4; 3)$. Следовательно, график функции пересекает прямую $y = 3$ в точках $(1; 3)$ и $(4; 3)$. --- **Ответ:** 1) Не пересекает; 2) пересекает в точках $(-1; 3)$ и $(5; 3)$; 3) пересекает в точках $(1; 3)$ и $(4; 3)$.