ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 8 - 8.5

### 1) $f(x) = \sin x - \cos x$, $[0; \pi]$ 1. Функция $f(x)$ непрерывна и дифференцируема на отрезке $[0; \pi]$. Найдём её производную: $$ f'(x) = (\sin x - \cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x $$ 2. Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $$ \cos x + \sin x = 0 $$ Так как $\cos x$ и $\sin x$ одновременно не равны нулю, разделим обе части уравнения на $\cos x \neq 0$: $$ 1 + \operatorname{tg} x = 0 \implies \operatorname{tg} x = -1 $$ $$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ На отрезке $[0; \pi]$ лежит единственная критическая точка при $k = 1$: $$ x = \frac{3\pi}{4} $$ 3. Вычислим значения функции на концах отрезка и в найденной критической точке: - $f(0) = \sin 0 - \cos 0 = 0 - 1 = -1$; - $f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\frac{3\pi}{4} - \cos\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}$; - $f(\pi) = \sin \pi - \cos \pi = 0 - (-1) = 1$. 4. Сравнивая полученные значения, определяем: $$ \max_{[0; \pi]} f(x) = f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sqrt{2} $$ $$ \min_{[0; \pi]} f(x) = f(0) = -1 $$ **Ответ:** наибольшее значение равно $\sqrt{2}$, наименьшее значение равно $-1$. --- ### 2) $f(x) = \sin\left(4x - \frac{\pi}{3}\right)$, $\left[0; \frac{\pi}{6}\right]$ 1. Функция непрерывна и дифференцируема на заданном отрезке. Найдём производную: $$ f'(x) = \cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) \cdot (4x - \frac{\pi}{3})' = 4\cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) $$ 2. Найдём критические точки: $$ 4\cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = 0 \implies \cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = 0 $$ $$ 4x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ 4x = \frac{5\pi}{6} + \pi k \implies x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Проверим принадлежность точек отрезку $\left[0; \frac{\pi}{6}\right] = \left[0; \frac{4\pi}{24}\right]$: - при $k = 0$: $x = \frac{5\pi}{24} > \frac{4\pi}{24}$, не принадлежит отрезку; - при $k = -1$: $x = \frac{5\pi}{24} - \frac{6\pi}{24} = -\frac{\pi}{24} < 0$, не принадлежит отрезку. Следовательно, на интервале $\left(0; \frac{\pi}{6}\right)$ критических точек нет. 3. Вычислим значения функции на концах отрезка: - $f(0) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$; - $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 4. Сравнивая значения: $$ \max_{\left[0; \frac{\pi}{6}\right]} f(x) = f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ \min_{\left[0; \frac{\pi}{6}\right]} f(x) = f(0) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$ **Ответ:** наибольшее значение равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, наименьшее значение равно $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. --- ### 3) $f(x) = x\sqrt{3} - \cos 2x$, $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ 1. Функция непрерывна и дифференцируема на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$. Найдём её производную: $$ f'(x) = \sqrt{3} - (-\sin 2x) \cdot 2 = \sqrt{3} + 2\sin 2x $$ 2. Найдём критические точки: $$ \sqrt{3} + 2\sin 2x = 0 \implies \sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$ Отсюда получаем две серии решений: $$ 2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ 2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ при $k = 0$ принадлежат точки: $$ x_1 = -\frac{\pi}{6}, \quad x_2 = -\frac{\pi}{3} $$ 3. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках: - $f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{2} - \cos(-\pi) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{2} - (-1) = 1 - \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$; - $f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{\pi\sqrt{3}}{3}$; - $f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{6} - \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$; - $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi\sqrt{3}}{2} - \cos\pi = \frac{\pi\sqrt{3}}{2} - (-1) = 1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$. 4. Сравним полученные числа: - Значение $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} > 0$, а остальные три значения отрицательны, поэтому оно является наибольшим. - Для поиска наименьшего сравним $f\left(-\frac{\pi}{2}\right)$ и $f\left(-\frac{\pi}{6}\right)$: $$ f\left(-\frac{\pi}{2}\right) - f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \left(1 - \frac{\pi\sqrt{3}}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2} - \frac{\pi\sqrt{3}}{6}\right) = \frac{3}{2} - \frac{\pi\sqrt{3}}{3} = \frac{9 - 2\pi\sqrt{3}}{6} $$ Так как $2\pi\sqrt{3} \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 1{,}73 \approx 10{,}86 > 9$, то разность отрицательна, то есть: $$ f\left(-\frac{\pi}{2}\right) < f\left(-\frac{\pi}{6}\right) $$ Следовательно: $$ \max_{\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]} f(x) = f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} $$ $$ \min_{\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]} f(x) = f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 1 - \frac{\pi\sqrt{3}}{2} $$ **Ответ:** наибольшее значение равно $1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$, наименьшее значение равно $1 - \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.