ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 8 - 8.8

Пусть первое число равно $x$. Тогда второе число равно $12 - x$. По условию числа неотрицательные, следовательно: $$0 \le x \le 12$$ Составим функцию произведения квадрата первого числа на удвоенное второе число: $$f(x) = x^2 \cdot 2(12 - x) = 24x^2 - 2x^3$$ Исследуем функцию $f(x)$ на наибольшее значение на отрезке $[0; 12]$. Найдем производную функции: $$f'(x) = (24x^2 - 2x^3)' = 48x - 6x^2$$ Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $$48x - 6x^2 = 0$$ $$6x(8 - x) = 0$$ $$x_1 = 0, \quad x_2 = 8$$ Обе точки принадлежат отрезку $[0; 12]$. Определим знаки производной на отрезке $[0; 12]$: * при $x \in (0; 8)$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает; * при $x \in (8; 12)$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает. Значит, $x = 8$ — точка максимума функции. Вычислим значения функции в точке максимума и на концах отрезка: $$f(0) = 0$$ $$f(8) = 8^2 \cdot 2(12 - 8) = 64 \cdot 8 = 512$$ $$f(12) = 12^2 \cdot 2(12 - 12) = 0$$ Наибольшее значение функции достигается при $x = 8$. Тогда второе число равно: $$12 - 8 = 4$$ Ответ: 8 и 4.