ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 8 - 8.7

Пусть первое число равно $x$, тогда второе число равно $8 - x$. По условию задачи слагаемые должны быть неотритательными, следовательно: $x \ge 0$ и $8 - x \ge 0 \implies x \in [0; 8]$. Пусть куб берется от числа $x$. Составим функцию зависимости произведения куба первого числа на второе от переменной $x$: $$ f(x) = x^3(8 - x) = 8x^3 - x^4 $$ Найдем наибольшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[0; 8]$ с помощью производной: $$ f'(x) = (8x^3 - x^4)' = 24x^2 - 4x^3 $$ Найдем критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$: $$ 4x^2(6 - x) = 0 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = 6 $$ Обе точки принадлежат рассматриваемому отрезку $[0; 8]$. Определим знаки производной на интервалах внутри отрезка: - при $x \in (0; 6)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает; - при $x \in (6; 8)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает. Значит, точка $x = 6$ является точкой максимума функции $f(x)$ на данном отрезке, и в ней достигается наибольшее значение. Найдем второе число: $$ 8 - x = 8 - 6 = 2 $$ Таким образом, число 8 представляется в виде суммы $6 + 2$. Ответ: $6$ и $2$ (или $6 + 2$).