ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 8 - 8.4

1) $f(x) = \sqrt{9 + 8x - x^2}$, отрезок $[0; 7]$. Функция $f(x)$ определена при $9 + 8x - x^2 \ge 0$, то есть $x^2 - 8x - 9 \le 0 \iff (x + 1)(x - 9) \le 0 \iff x \in [-1; 9]$. Отрезок $[0; 7]$ целиком входит в область определения, функция непрерывна на нем и дифференцируема на интервале $(0; 7)$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = \frac{(9 + 8x - x^2)'}{2\sqrt{9 + 8x - x^2}} = \frac{8 - 2x}{2\sqrt{9 + 8x - x^2}} = \frac{4 - x}{\sqrt{9 + 8x - x^2}} $$ Найдем критические точки: $$ f'(x) = 0 \iff 4 - x = 0 \iff x = 4 $$ Точка $x = 4$ принадлежит отрезку $[0; 7]$. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: * $f(0) = \sqrt{9 + 8 \cdot 0 - 0^2} = \sqrt{9} = 3$; * $f(4) = \sqrt{9 + 8 \cdot 4 - 4^2} = \sqrt{9 + 32 - 16} = \sqrt{25} = 5$; * $f(7) = \sqrt{9 + 8 \cdot 7 - 7^2} = \sqrt{9 + 56 - 49} = \sqrt{16} = 4$. Сравнивая полученные значения, имеем: $$ \max_{[0; 7]} f(x) = f(4) = 5 $$ $$ \min_{[0; 7]} f(x) = f(0) = 3 $$ --- 2) $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 1}$, отрезок $[-2; 4]$. Знаменатель $x^2 + 1 \ne 0$ при всех действительных $x$, поэтому функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, в том числе на отрезке $[-2; 4]$. Найдем производную функции по правилу дифференцирования дроби: $$ f'(x) = \frac{(4x)'(x^2 + 1) - 4x(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4(x^2 + 1) - 4x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4 + 4x^2 - 8x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2} $$ Найдем критические точки: $$ f'(x) = 0 \iff 1 - x^2 = 0 \iff x = \pm 1 $$ Обе точки $x = -1$ и $x = 1$ принадлежат отрезку $[-2; 4]$. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка: * $f(-2) = \frac{4 \cdot (-2)}{(-2)^2 + 1} = -\frac{8}{5} = -1{,}6$; * $f(-1) = \frac{4 \cdot (-1)}{(-1)^2 + 1} = -\frac{4}{2} = -2$; * $f(1) = \frac{4 \cdot 1}{1^2 + 1} = \frac{4}{2} = 2$; * $f(4) = \frac{4 \cdot 4}{4^2 + 1} = \frac{16}{17}$. Сравнивая числа $-2 < -1{,}6 < \frac{16}{17} < 2$, получаем: $$ \max_{[-2; 4]} f(x) = f(1) = 2 $$ $$ \min_{[-2; 4]} f(x) = f(-1) = -2 $$ --- 3) $f(x) = (x - 1)^2(x + 5)^2$, отрезок $[-3; 2]$. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Найдем производную функции: $$ f'(x) = 2(x - 1)(x + 5)^2 + 2(x + 5)(x - 1)^2 = 2(x - 1)(x + 5)(x + 5 + x - 1) = 2(x - 1)(x + 5)(2x + 4) = 4(x - 1)(x + 5)(x + 2) $$ Найдем критические точки: $$ f'(x) = 0 \iff (x - 1)(x + 5)(x + 2) = 0 $$ Получаем корни: * $x_1 = 1 \in [-3; 2]$; * $x_2 = -2 \in [-3; 2]$; * $x_3 = -5 \notin [-3; 2]$. Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, и на его концах: * $f(-3) = (-3 - 1)^2(-3 + 5)^2 = (-4)^2 \cdot 2^2 = 16 \cdot 4 = 64$; * $f(-2) = (-2 - 1)^2(-2 + 5)^2 = (-3)^2 \cdot 3^2 = 9 \cdot 9 = 81$; * $f(1) = (1 - 1)^2(1 + 5)^2 = 0^2 \cdot 6^2 = 0$; * $f(2) = (2 - 1)^2(2 + 5)^2 = 1^2 \cdot 7^2 = 49$. Сравнивая полученные значения, имеем: $$ \max_{[-3; 2]} f(x) = f(-2) = 81 $$ $$ \min_{[-3; 2]} f(x) = f(1) = 0 $$ --- 4) $f(x) = -x - \frac{9}{x}$, отрезок $[-6; -1]$. Функция определена и непрерывна при всех $x \ne 0$. Точка $x = 0$ не принадлежит отрезку $[-6; -1]$, поэтому функция непрерывна на нем. Найдем производную: $$ f'(x) = -1 - 9 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -1 + \frac{9}{x^2} = \frac{9 - x^2}{x^2} $$ Найдем критические точки: $$ f'(x) = 0 \iff 9 - x^2 = 0 \iff x^2 = 9 \iff x = \pm 3 $$ Отрезку $[-6; -1]$ принадлежит только точка $x = -3$ (точка $x = 3 \notin [-6; -1]$). Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: * $f(-6) = -(-6) - \frac{9}{-6} = 6 + 1{,}5 = 7{,}5$; * $f(-3) = -(-3) - \frac{9}{-3} = 3 + 3 = 6$; * $f(-1) = -(-1) - \frac{9}{-1} = 1 + 9 = 10$. Сравнивая полученные значения, имеем: $$ \max_{[-6; -1]} f(x) = f(-1) = 10 $$ $$ \min_{[-6; -1]} f(x) = f(-3) = 6 $$