ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 8 - 8.3

### 1) $f(x) = \sqrt{100 - x^2}, \left[-6; 8\right]$ Функция определена при $100 - x^2 \ge 0$, то есть на отрезке $[-10; 10]$. Отрезок $[-6; 8]$ целиком входит в область определения. Найдем производную функции: $$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{100 - x^2}} \cdot (100 - x^2)' = \frac{-2x}{2\sqrt{100 - x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{100 - x^2}} $$ Найдем критические точки: $$ -\frac{x}{\sqrt{100 - x^2}} = 0 \implies x = 0 $$ Точка $x = 0$ принадлежит отрезку $[-6; 8]$. В точках $x = \pm 10$ производная не существует, но они не принадлежат интервалу $(-6; 8)$. Вычислим значения функции на концах отрезка и в найденной критической точке: * $f(-6) = \sqrt{100 - (-6)^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$; * $f(0) = \sqrt{100 - 0^2} = \sqrt{100} = 10$; * $f(8) = \sqrt{100 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$. Сравнивая полученные значения, находим: $$ \max_{[-6; 8]} f(x) = f(0) = 10 $$ $$ \min_{[-6; 8]} f(x) = f(8) = 6 $$ **Ответ:** наибольшее значение равно $10$, наименьшее значение равно $6$. --- ### 2) $f(x) = \sqrt{0,5x^2 + 3x + 5}, \left[2; 4\right]$ Подкоренное выражение $0,5x^2 + 3x + 5 > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$ (так как дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 0,5 \cdot 5 = 9 - 10 = -1 < 0$ и старший коэффициент положителен). Значит, функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой. Найдем производную: $$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{0,5x^2 + 3x + 5}} \cdot (0,5x^2 + 3x + 5)' = \frac{x + 3}{2\sqrt{0,5x^2 + 3x + 5}} $$ Приравняем производную к нулю: $$ x + 3 = 0 \implies x = -3 $$ Критическая точка $x = -3$ не принадлежит отрезку $[2; 4]$. На отрезке $[2; 4]$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает. Вычислим значения функции на концах отрезка: * $f(2) = \sqrt{0,5 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 + 5} = \sqrt{2 + 6 + 5} = \sqrt{13}$; * $f(4) = \sqrt{0,5 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4 + 5} = \sqrt{8 + 12 + 5} = \sqrt{25} = 5$. Получаем: $$ \max_{[2; 4]} f(x) = f(4) = 5 $$ $$ \min_{[2; 4]} f(x) = f(2) = \sqrt{13} $$ **Ответ:** наибольшее значение равно $5$, наименьшее значение равно $\sqrt{13}$. --- ### 3) $f(x) = (x + 1)^2(x - 2)^2, \left[-2; 4\right]$ Функция определена и дифференцируема при всех $x \in \mathbb{R}$. Найдем производную функции по правилу дифференцирования произведения: $$ f'(x) = 2(x + 1)(x - 2)^2 + (x + 1)^2 \cdot 2(x - 2) $$ Вынесем общий множитель $2(x + 1)(x - 2)$ за скобки: $$ f'(x) = 2(x + 1)(x - 2)((x - 2) + (x + 1)) = 2(x + 1)(x - 2)(2x - 1) $$ Найдем критические точки: $$ 2(x + 1)(x - 2)(2x - 1) = 0 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 0,5, \quad x_3 = 2 $$ Все три точки принадлежат отрезку $[-2; 4]$. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках: * $f(-2) = (-2 + 1)^2(-2 - 2)^2 = (-1)^2 \cdot (-4)^2 = 1 \cdot 16 = 16$; * $f(-1) = (-1 + 1)^2(-1 - 2)^2 = 0$; * $f(0,5) = (0,5 + 1)^2(0,5 - 2)^2 = 1,5^2 \cdot (-1,5)^2 = 2,25 \cdot 2,25 = 5,0625$; * $f(2) = (2 + 1)^2(2 - 2)^2 = 0$; * $f(4) = (4 + 1)^2(4 - 2)^2 = 5^2 \cdot 2^2 = 25 \cdot 4 = 100$. Сравнивая полученные значения: $$ \max_{[-2; 4]} f(x) = f(4) = 100 $$ $$ \min_{[-2; 4]} f(x) = f(-1) = f(2) = 0 $$ **Ответ:** наибольшее значение равно $100$, наименьшее значение равно $0$. --- ### 4) $f(x) = \frac{2}{x} + \frac{x}{2}, \left[-4; -1\right]$ Функция определена при $x \neq 0$. Отрезок $[-4; -1]$ входит в область определения. Найдем производную: $$ f'(x) = -\frac{2}{x^2} + \frac{1}{2} = \frac{x^2 - 4}{2x^2} $$ Найдем критические точки: $$ \frac{x^2 - 4}{2x^2} = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 $$ Отрезку $[-4; -1]$ принадлежит только точка $x = -2$ ($x = 2 \notin [-4; -1]$). Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: * $f(-4) = \frac{2}{-4} + \frac{-4}{2} = -0,5 - 2 = -2,5$; * $f(-2) = \frac{2}{-2} + \frac{-2}{2} = -1 - 1 = -2$; * $f(-1) = \frac{2}{-1} + \frac{-1}{2} = -2 - 0,5 = -2,5$. Сравнивая значения, получаем: $$ \max_{[-4; -1]} f(x) = f(-2) = -2 $$ $$ \min_{[-4; -1]} f(x) = f(-4) = f(-1) = -2,5 $$ **Ответ:** наибольшее значение равно $-2$, наименьшее значение равно $-2,5$.