ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 6 - 6.14

1) $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x}$ Найдем область определения функции: $$ x^2 + 4x \ge 0 $$ $$ x(x + 4) \ge 0 $$ $$ D(f) = (-\infty; -4] \cup [0; +\infty) $$ Функция $f(x)$ непрерывна на всей области определения. Найдем производную функции: $$ f'(x) = \left(\sqrt{x^2 + 4x}\right)' = \frac{(x^2 + 4x)'}{2\sqrt{x^2 + 4x}} = \frac{2x + 4}{2\sqrt{x^2 + 4x}} = \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4x}} $$ Производная существует при $x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty)$. Знаменатель дроби положителен при всех $x$ из области дифференцируемости, поэтому знак производной определяется знаком числителя $x + 2$: * на интервале $(-\infty; -4)$ имеем $x + 2 < 0$, следовательно, $f'(x) < 0$; * на интервале $(0; +\infty)$ имеем $x + 2 > 0$, следовательно, $f'(x) > 0$. С учетом непрерывности функции в граничных точках $x = -4$ и $x = 0$: * функция убывает на промежутке $(-\infty; -4]$; * функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. 2) $f(x) = \sqrt{6x - x^2}$ Найдем область определения функции: $$ 6x - x^2 \ge 0 $$ $$ x^2 - 6x \le 0 $$ $$ x(x - 6) \le 0 $$ $$ D(f) = [0; 6] $$ Функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[0; 6]$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = \left(\sqrt{6x - x^2}\right)' = \frac{(6x - x^2)'}{2\sqrt{6x - x^2}} = \frac{6 - 2x}{2\sqrt{6x - x^2}} = \frac{3 - x}{\sqrt{6x - x^2}} $$ Производная существует на интервале $(0; 6)$. Найдем нули производной: $$ \frac{3 - x}{\sqrt{6x - x^2}} = 0 \implies 3 - x = 0 \implies x = 3 $$ Точка $x = 3$ принадлежит интервалу $(0; 6)$. Определим знаки производной на интервалах, учитывая, что знаменатель положителен при всех $x \in (0; 6)$: * при $x \in (0; 3)$ имеем $3 - x > 0$, значит, $f'(x) > 0$; * при $x \in (3; 6)$ имеем $3 - x < 0$, значит, $f'(x) < 0$. С учетом непрерывности функции в точках $x = 0$, $x = 3$ и $x = 6$: * функция возрастает на промежутке $[0; 3]$; * функция убывает на промежутке $[3; 6]$. **Ответ:** 1) возрастает на $[0; +\infty)$, убывает на $(-\infty; -4]$; 2) возрастает на $[0; 3]$, убывает на $[3; 6]$.