ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 6 - 6.15

**6.15.** Найдем промежутки возрастания и убывания функции $$ f(x) = \sqrt{x^2 - 1} $$ 1. **Область определения функции:** Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$ x^2 - 1 \ge 0 $$ $$ (x - 1)(x + 1) \ge 0 $$ Отсюда получаем: $$ D(f) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) $$ 2. **Производная функции:** Найдем производную по правилу дифференцирования сложной функции: $$ f'(x) = (\sqrt{x^2 - 1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot (x^2 - 1)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} $$ Производная определена при $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$. В точках $x = -1$ и $x = 1$ производная не существует. 3. **Критические точки и знаки производной:** Приравняем производную к нулю: $$ \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = 0 \implies x = 0 $$ Точка $x = 0$ не принадлежит области определения функции ($0 \notin D(f)$). Знаменатель $\sqrt{x^2 - 1} > 0$ при всех допустимых значениях $x$, поэтому знак производной совпадает со знаком числителя $x$: - на промежутке $(-\infty; -1)$ имеем $x < 0$, следовательно, $f'(x) < 0$; - на промежутке $(1; +\infty)$ имеем $x > 0$, следовательно, $f'(x) > 0$. 4. **Промежутки монотонности:** Так как функция $f(x)$ непрерывна в точках $x = -1$ и $x = 1$, эти граничные точки включаются в промежутки возрастания и убывания: - функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$; - функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$. **Ответ:** Функция убывает на $(-\infty; -1]$, возрастает на $[1; +\infty)$.