ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 6 - 6.12

1) $f(x) = x\sqrt{2} + \sin x$ Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. Найдём производную функции: $$ f'(x) = (x\sqrt{2} + \sin x)' = \sqrt{2} + \cos x $$ Оценим знак производной. Так как для любого $x \in \mathbb{R}$ справедливо двойное неравенство $-1 \le \cos x \le 1$, получаем: $$ f'(x) = \sqrt{2} + \cos x \ge \sqrt{2} - 1 $$ Поскольку $\sqrt{2} \approx 1{,}41 > 1$, то $\sqrt{2} - 1 > 0$, следовательно, $f'(x) > 0$ при всех действительных значениях $x$. Так как производная функции строго положительна на всей области определения, функция возрастает на $(-\infty; +\infty)$. Промежутков убывания нет. **Ответ:** возрастает на $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет. --- 2) $f(x) = x - \cos x$ Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. Найдём производную функции: $$ f'(x) = (x - \cos x)' = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x $$ Так как для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется неравенство $-1 \le \sin x \le 1$, то: $$ f'(x) = 1 + \sin x \ge 0 $$ Производная обращается в ноль только в точках, где $\sin x = -1$, то есть при: $$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на всей числовой прямой, а её производная неотрицательна ($f'(x) \ge 0$) и обращается в ноль лишь в отдельных изолированных точках, функция возрастает на всей области определения. **Ответ:** возрастает на $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет. --- 3) $f(x) = \cos x + \frac{x\sqrt{3}}{2}$ Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. Найдём производную функции: $$ f'(x) = \left(\cos x + \frac{x\sqrt{3}}{2}\right)' = -\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Функция возрастает на промежутках, где $f'(x) \ge 0$: $$ -\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \ge 0 $$ $$ \sin x \le \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Решая тригонометрическое неравенство с помощью числовой окружности, получаем: $$ -\frac{4\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Функция убывает на промежутках, где $f'(x) \le 0$: $$ -\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \le 0 $$ $$ \sin x \ge \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Решением этого неравенства являются промежутки: $$ \frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** возрастает на промежутках $\left[-\frac{4\pi}{3} + 2\pi k; \, \frac{\pi}{3} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z}$; убывает на промежутках $\left[\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.