ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 6 - 6.11

1) $f(x) = 10x^3 - 9x^2 + 24x - 90$ Область определения функции — вся числовая прямая: $D(f) = \mathbb{R}$. Функция дифференцируема на $\mathbb{R}$. Найдём её производную: $$ f'(x) = (10x^3 - 9x^2 + 24x - 90)' = 30x^2 - 18x + 24 $$ Вынесем общий множитель $6$ за скобки: $$ f'(x) = 6(5x^2 - 3x + 4) $$ Исследуем знак квадратного трёхчлена $5x^2 - 3x + 4$. Для этого найдём его дискриминант: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 9 - 80 = -71 $$ Так как старший коэффициент положителен ($a = 5 > 0$), а дискриминант отрицателен ($D < 0$), квадратный трёхчлен принимает строго положительные значения при любых действительных $x$: $$ 5x^2 - 3x + 4 > 0 \quad \text{при всех } x \in \mathbb{R} $$ Следовательно, $f'(x) > 0$ на всей области определения. По достаточному условию возрастания функции, $f(x)$ является возрастающей на $\mathbb{R}$, что и требовалось доказать. 2) $f(x) = \sin x + x^3 + x$ Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. Функция дифференцируема на $\mathbb{R}$. Найдём её производную: $$ f'(x) = (\sin x + x^3 + x)' = \cos x + 3x^2 + 1 $$ Перепишем выражение в виде: $$ f'(x) = 3x^2 + (\cos x + 1) $$ Оценим слагаемые при любых $x \in \mathbb{R}$: - $3x^2 \ge 0$, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен; - $\cos x \ge -1$, следовательно, $\cos x + 1 \ge 0$. Таким образом, $f'(x) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Проверим, может ли производная равняться нулю. Равенство $f'(x) = 0$ возможно тогда и только тогда, когда оба неотрицательных слагаемых одновременно равны нулю: $$ \begin{cases} 3x^2 = 0 \\ \cos x + 1 = 0 \end{cases} $$ Из первого уравнения получаем $x = 0$. Подставим $x = 0$ во второе уравнение: $$ \cos 0 + 1 = 1 + 1 = 2 \neq 0 $$ Система не имеет решений, а значит, производная ни в одной точке не обращается в ноль. Следовательно, $f'(x) > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. По достаточному условию возрастания функции, $f(x)$ является возрастающей на $\mathbb{R}$, что и требовалось доказать.