ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 6 - 6.17

6.17. Дано уравнение: $$ 1 + \frac{2x}{x + 4} + \frac{27}{2x^2 + 7x - 4} = \frac{6}{2x - 1} $$ Разложим на множители квадратный трёхчлен в знаменателе третьей дроби: $$ 2x^2 + 7x - 4 = 0 $$ $$ D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2 $$ $$ x_1 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4 $$ Следовательно: $$ 2x^2 + 7x - 4 = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x + 4) = (2x - 1)(x + 4) $$ Перепишем исходное уравнение с учётом разложения: $$ 1 + \frac{2x}{x + 4} + \frac{27}{(2x - 1)(x + 4)} = \frac{6}{2x - 1} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x + 4 \neq 0 \\ 2x - 1 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq -4 \\ x \neq \frac{1}{2} \end{cases} $$ Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(2x - 1)(x + 4) \neq 0$: $$ (2x - 1)(x + 4) + 2x(2x - 1) + 27 = 6(x + 4) $$ Раскроем скобки: $$ 2x^2 + 8x - x - 4 + 4x^2 - 2x + 27 = 6x + 24 $$ Приведем подобные слагаемые в левой части: $$ 6x^2 + 5x + 23 = 6x + 24 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ 6x^2 + 5x - 6x + 23 - 24 = 0 $$ $$ 6x^2 - x - 1 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 = 5^2 $$ $$ x_1 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $$ $$ x_2 = \frac{1 - 5}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3} $$ Проверим найденные корни по ОДЗ: 1. Корень $x_1 = \frac{1}{2}$ не удовлетворяет условию $x \neq \frac{1}{2}$, следовательно, является посторонним. 2. Корень $x_2 = -\frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($-\frac{1}{3} \neq -4$ и $-\frac{1}{3} \neq \frac{1}{2}$). Ответ: $-\frac{1}{3}$