ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 4 - 4.8

1) $f(x) = \sqrt{x} - 16x$, $x_0 = \frac{1}{4}$. Найдем производную функции, используя формулы $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ и $(kx)' = k$: $$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 16 $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{4}$: $$ f'\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4}}} - 16 = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} - 16 = \frac{1}{1} - 16 = -15 $$ 2) $f(x) = \frac{\cos x}{1 - x}$, $x_0 = 0$. Применим правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$ f'(x) = \frac{(\cos x)'(1 - x) - \cos x(1 - x)'}{(1 - x)^2} = \frac{-\sin x(1 - x) - \cos x \cdot (-1)}{(1 - x)^2} = \frac{-(1 - x)\sin x + \cos x}{(1 - x)^2} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$: $$ f'(0) = \frac{-(1 - 0)\sin 0 + \cos 0}{(1 - 0)^2} = \frac{-1 \cdot 0 + 1}{1^2} = \frac{1}{1} = 1 $$ 3) $f(x) = x^{-2} - 4x^{-3}$, $x_0 = 2$. Найдем производную по правилу дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n x^{n-1}$: $$ f'(x) = -2x^{-3} - 4 \cdot (-3)x^{-4} = -2x^{-3} + 12x^{-4} = -\frac{2}{x^3} + \frac{12}{x^4} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$: $$ f'(2) = -\frac{2}{2^3} + \frac{12}{2^4} = -\frac{2}{8} + \frac{12}{16} = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = 0{,}5 $$ 4) $f(x) = \frac{2x^2 - 3x - 1}{x + 1}$, $x_0 = 1$. Применим правило дифференцирования частного: $$ f'(x) = \frac{(2x^2 - 3x - 1)'(x + 1) - (2x^2 - 3x - 1)(x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{(4x - 3)(x + 1) - (2x^2 - 3x - 1) \cdot 1}{(x + 1)^2} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ (4x - 3)(x + 1) - (2x^2 - 3x - 1) = 4x^2 + 4x - 3x - 3 - 2x^2 + 3x + 1 = 2x^2 + 4x - 2 $$ Таким образом: $$ f'(x) = \frac{2x^2 + 4x - 2}{(x + 1)^2} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $$ f'(1) = \frac{2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 - 2}{(1 + 1)^2} = \frac{2 + 4 - 2}{2^2} = \frac{4}{4} = 1 $$ Ответ: 1) $-15$; 2) $1$; 3) $0{,}5$; 4) $1$.