ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 4 - 4.5

Для нахождения производных воспользуемся правилом дифференцирования частного двух функций: $$ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ 1) $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ Применим формулу производной частного, где $u = x - 1$, $v = x + 1$: $$ y' = \frac{(x - 1)'(x + 1) - (x - 1)(x + 1)'}{(x + 1)^2} $$ Так как $(x - 1)' = 1$ и $(x + 1)' = 1$, получаем: $$ y' = \frac{1 \cdot (x + 1) - (x - 1) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - x + 1}{(x + 1)^2} = \frac{2}{(x + 1)^2} $$ 2) $y = \frac{2x - 3}{4 - 5x}$ Применим правило дифференцирования частного: $$ y' = \frac{(2x - 3)'(4 - 5x) - (2x - 3)(4 - 5x)'}{(4 - 5x)^2} $$ Так как $(2x - 3)' = 2$ и $(4 - 5x)' = -5$, находим: $$ y' = \frac{2(4 - 5x) - (2x - 3)(-5)}{(4 - 5x)^2} = \frac{8 - 10x - (-10x + 15)}{(4 - 5x)^2} = \frac{8 - 10x + 10x - 15}{(4 - 5x)^2} = -\frac{7}{(4 - 5x)^2} $$ 3) $y = \frac{5}{3x - 2}$ Применим правило дифференцирования дроби с постоянным числителем $\left(\frac{c}{v}\right)' = -\frac{c \cdot v'}{v^2}$: $$ y' = \frac{5' \cdot (3x - 2) - 5 \cdot (3x - 2)'}{(3x - 2)^2} = \frac{0 \cdot (3x - 2) - 5 \cdot 3}{(3x - 2)^2} = -\frac{15}{(3x - 2)^2} $$ 4) $y = \frac{x}{x^2 - 1}$ Применим формулу производной частного: $$ y' = \frac{(x)'(x^2 - 1) - x(x^2 - 1)'}{(x^2 - 1)^2} $$ Так как $(x)' = 1$ и $(x^2 - 1)' = 2x$, получаем: $$ y' = \frac{1 \cdot (x^2 - 1) - x \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^2 - 1 - 2x^2}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-x^2 - 1}{(x^2 - 1)^2} = -\frac{x^2 + 1}{(x^2 - 1)^2} $$ 5) $y = \frac{5x^2 - x - 2}{x}$ Разделим почленно каждое слагаемое числителя на знаменатель: $$ y = \frac{5x^2}{x} - \frac{x}{x} - \frac{2}{x} = 5x - 1 - 2 \cdot x^{-1} $$ Найдём производную полученной суммы: $$ y' = (5x)' - (1)' - 2(x^{-1})' = 5 - 0 - 2 \cdot (-1)x^{-2} = 5 + \frac{2}{x^2} = \frac{5x^2 + 2}{x^2} $$ 6) $y = \frac{x^3}{\cos x}$ Применим правило производной частного: $$ y' = \frac{(x^3)' \cos x - x^3 (\cos x)'}{\cos^2 x} $$ Так как $(x^3)' = 3x^2$ и $(\cos x)' = -\sin x$, имеем: $$ y' = \frac{3x^2 \cos x - x^3(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{3x^2 \cos x + x^3 \sin x}{\cos^2 x} = \frac{x^2(3\cos x + x\sin x)}{\cos^2 x} $$ 7) $y = \frac{3 - x^2}{4 + 2x}$ Применим правило дифференцирования частного: $$ y' = \frac{(3 - x^2)'(4 + 2x) - (3 - x^2)(4 + 2x)'}{(4 + 2x)^2} $$ Так как $(3 - x^2)' = -2x$ и $(4 + 2x)' = 2$: $$ y' = \frac{-2x(4 + 2x) - 2(3 - x^2)}{(4 + 2x)^2} = \frac{-8x - 4x^2 - 6 + 2x^2}{(4 + 2x)^2} = \frac{-2x^2 - 8x - 6}{(4 + 2x)^2} $$ Вынесем общие множители в числителе и знаменателе для сокращения дроби: $$ y' = \frac{-2(x^2 + 4x + 3)}{(2(2 + x))^2} = \frac{-2(x^2 + 4x + 3)}{4(x + 2)^2} = -\frac{x^2 + 4x + 3}{2(x + 2)^2} $$ 8) $y = \frac{x^2 - 5x}{x - 7}$ Применим формулу производной частного: $$ y' = \frac{(x^2 - 5x)'(x - 7) - (x^2 - 5x)(x - 7)'}{(x - 7)^2} $$ Так как $(x^2 - 5x)' = 2x - 5$ и $(x - 7)' = 1$: $$ y' = \frac{(2x - 5)(x - 7) - (x^2 - 5x) \cdot 1}{(x - 7)^2} = \frac{2x^2 - 14x - 5x + 35 - x^2 + 5x}{(x - 7)^2} = \frac{x^2 - 14x + 35}{(x - 7)^2} $$