ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 4 - 4.7

1) Найдем производную функции $f(x) = x^8 - 3x^4 - x + 6$, используя правила дифференцирования суммы и формулу $(x^n)' = n x^{n-1}$: $$ f'(x) = 8x^7 - 3 \cdot 4x^3 - 1 = 8x^7 - 12x^3 - 1 $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$: $$ f'(-1) = 8 \cdot (-1)^7 - 12 \cdot (-1)^3 - 1 = -8 + 12 - 1 = 3 $$ Ответ: $3$. --- 2) Найдем производную функции $f(x) = \frac{8}{x} + 5x - 2$, учитывая, что $\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$: $$ f'(x) = -\frac{8}{x^2} + 5 $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$: $$ f'(2) = -\frac{8}{2^2} + 5 = -\frac{8}{4} + 5 = -2 + 5 = 3 $$ Ответ: $3$. --- 3) Для функции $f(x) = \frac{2 - 3x}{x + 2}$ применим формулу производной частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$ f'(x) = \frac{(2 - 3x)'(x + 2) - (2 - 3x)(x + 2)'}{(x + 2)^2} = \frac{-3(x + 2) - (2 - 3x) \cdot 1}{(x + 2)^2} $$ $$ f'(x) = \frac{-3x - 6 - 2 + 3x}{(x + 2)^2} = \frac{-8}{(x + 2)^2} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = -3$: $$ f'(-3) = \frac{-8}{(-3 + 2)^2} = \frac{-8}{(-1)^2} = \frac{-8}{1} = -8 $$ Ответ: $-8$. --- 4) Найдем производную функции $f(x) = \frac{x^2 + 2}{x - 2} - 2\sin x$: $$ \left(\frac{x^2 + 2}{x - 2}\right)' = \frac{(x^2 + 2)'(x - 2) - (x^2 + 2)(x - 2)'}{(x - 2)^2} = \frac{2x(x - 2) - (x^2 + 2) \cdot 1}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 2}{(x - 2)^2} $$ $$ (2\sin x)' = 2\cos x $$ Следовательно: $$ f'(x) = \frac{x^2 - 4x - 2}{(x - 2)^2} - 2\cos x $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$: $$ f'(0) = \frac{0^2 - 4 \cdot 0 - 2}{(0 - 2)^2} - 2\cos 0 = \frac{-2}{4} - 2 \cdot 1 = -0{,}5 - 2 = -2{,}5 $$ Ответ: $-2{,}5$. --- 5) Для функции $f(x) = (1 + 3x)\sqrt{x}$ применим правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $$ f'(x) = (1 + 3x)' \cdot \sqrt{x} + (1 + 3x) \cdot (\sqrt{x})' = 3\sqrt{x} + (1 + 3x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 9$: $$ f'(9) = 3\sqrt{9} + (1 + 3 \cdot 9) \cdot \frac{1}{2\sqrt{9}} = 3 \cdot 3 + 28 \cdot \frac{1}{6} = 9 + \frac{14}{3} = \frac{41}{3} = 13\frac{2}{3} $$ Ответ: $13\frac{2}{3}$. --- 6) Запишем функцию $f(x) = 3\sqrt[3]{x} - 10\sqrt[5]{x}$ в виде степеней с рациональными показателями: $$ f(x) = 3x^{\frac{1}{3}} - 10x^{\frac{1}{5}} $$ Найдем производную: $$ f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} - 10 \cdot \frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}} = x^{-\frac{2}{3}} - 2x^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} - \frac{2}{\sqrt[5]{x^4}} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $$ f'(1) = \frac{1}{\sqrt[3]{1^2}} - \frac{2}{\sqrt[5]{1^4}} = 1 - 2 = -1 $$ Ответ: $-1$. --- 7) Для функции $f(x) = (x^2 - 2x + 3)\cos x$ применим правило дифференцирования произведения: $$ f'(x) = (x^2 - 2x + 3)' \cdot \cos x + (x^2 - 2x + 3) \cdot (\cos x)' $$ $$ f'(x) = (2x - 2)\cos x - (x^2 - 2x + 3)\sin x $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$: $$ f'(0) = (2 \cdot 0 - 2)\cos 0 - (0^2 - 2 \cdot 0 + 3)\sin 0 = -2 \cdot 1 - 3 \cdot 0 = -2 $$ Ответ: $-2$. --- 8) Для функции $f(x) = x\sin x$ применим правило дифференцирования произведения: $$ f'(x) = (x)' \cdot \sin x + x \cdot (\sin x)' = 1 \cdot \sin x + x\cos x = \sin x + x\cos x $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$: $$ f'(0) = \sin 0 + 0 \cdot \cos 0 = 0 + 0 = 0 $$ Ответ: $0$.