ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 4 - 4.6

Для нахождения производных воспользуемся правилом дифференцирования частного: $$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ 1) $y = \frac{3x + 5}{x - 8}$ Применим формулу производной частного: $$ y' = \frac{(3x + 5)'(x - 8) - (3x + 5)(x - 8)'}{(x - 8)^2} $$ Так как $(3x + 5)' = 3$, а $(x - 8)' = 1$, получаем: $$ y' = \frac{3(x - 8) - (3x + 5) \cdot 1}{(x - 8)^2} = \frac{3x - 24 - 3x - 5}{(x - 8)^2} = -\frac{29}{(x - 8)^2} $$ **Ответ:** $y' = -\frac{29}{(x - 8)^2}$ --- 2) $y = \frac{7}{10x - 3}$ Воспользуемся формулой производной частного или формулой $\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}$: $$ y' = \frac{(7)'(10x - 3) - 7(10x - 3)'}{(10x - 3)^2} $$ Так как $(7)' = 0$, а $(10x - 3)' = 10$: $$ y' = \frac{0 \cdot (10x - 3) - 7 \cdot 10}{(10x - 3)^2} = -\frac{70}{(10x - 3)^2} $$ **Ответ:** $y' = -\frac{70}{(10x - 3)^2}$ --- 3) $y = \frac{2x^2}{1 - 6x}$ Найдём производную: $$ y' = \frac{(2x^2)'(1 - 6x) - 2x^2(1 - 6x)'}{(1 - 6x)^2} $$ Так как $(2x^2)' = 4x$, а $(1 - 6x)' = -6$: $$ y' = \frac{4x(1 - 6x) - 2x^2(-6)}{(1 - 6x)^2} = \frac{4x - 24x^2 + 12x^2}{(1 - 6x)^2} = \frac{4x - 12x^2}{(1 - 6x)^2} $$ Вынесем общий множитель в числителе: $$ y' = \frac{4x(1 - 3x)}{(1 - 6x)^2} $$ **Ответ:** $y' = \frac{4x - 12x^2}{(1 - 6x)^2}$ (или $\frac{4x(1 - 3x)}{(1 - 6x)^2}$) --- 4) $y = \frac{\sin x}{x}$ Найдём производную: $$ y' = \frac{(\sin x)' \cdot x - \sin x \cdot (x)'}{x^2} $$ Так как $(\sin x)' = \cos x$, а $(x)' = 1$: $$ y' = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2} $$ **Ответ:** $y' = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$ --- 5) $y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ Найдём производную: $$ y' = \frac{(x^2 - 1)'(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} $$ Так как $(x^2 - 1)' = 2x$ и $(x^2 + 1)' = 2x$: $$ y' = \frac{2x(x^2 + 1) - 2x(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x(x^2 + 1 - x^2 + 1)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x \cdot 2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} $$ **Ответ:** $y' = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$ --- 6) $y = \frac{x^2 + 6x}{x + 2}$ Найдём производную: $$ y' = \frac{(x^2 + 6x)'(x + 2) - (x^2 + 6x)(x + 2)'}{(x + 2)^2} $$ Так как $(x^2 + 6x)' = 2x + 6$, а $(x + 2)' = 1$: $$ y' = \frac{(2x + 6)(x + 2) - (x^2 + 6x) \cdot 1}{(x + 2)^2} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ y' = \frac{2x^2 + 4x + 6x + 12 - x^2 - 6x}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 12}{(x + 2)^2} $$ **Ответ:** $y' = \frac{x^2 + 4x + 12}{(x + 2)^2}$