ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 4 - 4.2

1) Функция: $y = 2x^5 - x$. Применяем правила дифференцирования суммы и степенной функции: $$ y' = (2x^5)' - (x)' = 2 \cdot 5x^4 - 1 = 10x^4 - 1 $$ Ответ: $y' = 10x^4 - 1$. --- 2) Функция: $y = x^7 - 4\sqrt{x}$. Используем табличные производные $(x^n)' = n x^{n-1}$ и $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$: $$ y' = (x^7)' - 4(\sqrt{x})' = 7x^6 - 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 7x^6 - \frac{2}{\sqrt{x}} $$ Ответ: $y' = 7x^6 - \frac{2}{\sqrt{x}}$. --- 3) Функция: $y = -3\sin x + 2\cos x$. Используем производные тригонометрических функций $(\sin x)' = \cos x$ и $(\cos x)' = -\sin x$: $$ y' = -3(\sin x)' + 2(\cos x)' = -3\cos x + 2(-\sin x) = -3\cos x - 2\sin x $$ Ответ: $y' = -3\cos x - 2\sin x$. --- 4) Функция: $y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 7x$. Дифференцируем каждое слагаемое: $$ y' = \left(\frac{2}{3}x^3\right)' - (x^2)' - (7x)' = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 - 2x - 7 = 2x^2 - 2x - 7 $$ Ответ: $y' = 2x^2 - 2x - 7$. --- 5) Функция: $y = x - \frac{5}{x}$. Запишем функцию в виде $y = x - 5 \cdot x^{-1}$ или воспользуемся формулой $\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$: $$ y' = (x)' - 5 \cdot \left(\frac{1}{x}\right)' = 1 - 5 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = 1 + \frac{5}{x^2} $$ Ответ: $y' = 1 + \frac{5}{x^2}$. --- 6) Функция: $y = 12 - \operatorname{ctg} x$. Производная постоянной равна нулю: $(C)' = 0$, а $(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$: $$ y' = (12)' - (\operatorname{ctg} x)' = 0 - \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = \frac{1}{\sin^2 x} $$ Ответ: $y' = \frac{1}{\sin^2 x}$. --- 7) Функция: $y = 0,4x^{-5} + \sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3}$ — постоянная величина, её производная равна $0$: $$ y' = (0,4x^{-5})' + (\sqrt{3})' = 0,4 \cdot (-5)x^{-5-1} + 0 = -2x^{-6} = -\frac{2}{x^6} $$ Ответ: $y' = -\frac{2}{x^6}$.