ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 3 - 3.5

Для нахождения производных воспользуемся формулой дифференцирования степенной функции $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$ и свойствами степени с рациональным показателем $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$ и $\frac{1}{x^a} = x^{-a}$. 1) Представим корень в виде степени с дробным показателем: $$ y = \sqrt[9]{x} = x^{\frac{1}{9}} $$ Найдем производную: $$ y' = \left(x^{\frac{1}{9}}\right)' = \frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} - 1} = \frac{1}{9} x^{-\frac{8}{9}} = \frac{1}{9\sqrt[9]{x^8}} $$ Ответ: $y' = \frac{1}{9\sqrt[9]{x^8}}$. 2) Запишем корень в виде степени: $$ y = \sqrt[6]{x^5} = x^{\frac{5}{6}} $$ Найдем производную: $$ y' = \left(x^{\frac{5}{6}}\right)' = \frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1} = \frac{5}{6} x^{-\frac{1}{6}} = \frac{5}{6\sqrt[6]{x}} $$ Ответ: $y' = \frac{5}{6\sqrt[6]{x}}$. 3) Представим выражение в виде степени с отрицательным дробным показателем: $$ y = \frac{1}{\sqrt[12]{x^7}} = \frac{1}{x^{\frac{7}{12}}} = x^{-\frac{7}{12}} $$ Найдем производную: $$ y' = \left(x^{-\frac{7}{12}}\right)' = -\frac{7}{12} x^{-\frac{7}{12} - 1} = -\frac{7}{12} x^{-\frac{19}{12}} = -\frac{7}{12\sqrt[12]{x^{19}}} = -\frac{7}{12x\sqrt[12]{x^7}} $$ Ответ: $y' = -\frac{7}{12x\sqrt[12]{x^7}}$.