ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 3 - 3.4

Для дифференцирования функций воспользуемся формулой производной степенной функции $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$ и свойствами степени с рациональным показателем $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$ и $\frac{1}{x^\alpha} = x^{-\alpha}$ при $x > 0$. 1) $y = \sqrt[4]{x}$ Представим корень в виде степени: $$ y = x^{\frac{1}{4}} $$ Найдём производную: $$ y' = \left(x^{\frac{1}{4}}\right)' = \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1} = \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} $$ Ответ: $y' = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$. 2) $y = \sqrt[8]{x^7}$ Представим корень в виде степени: $$ y = x^{\frac{7}{8}} $$ Найдём производную: $$ y' = \left(x^{\frac{7}{8}}\right)' = \frac{7}{8} x^{\frac{7}{8} - 1} = \frac{7}{8} x^{-\frac{1}{8}} = \frac{7}{8\sqrt[8]{x}} $$ Ответ: $y' = \frac{7}{8\sqrt[8]{x}}$. 3) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ Представим выражение в виде степени с отрицательным показателем: $$ y = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{-\frac{1}{2}} $$ Найдём производную: $$ y' = \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)' = -\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2} - 1} = -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}} $$ Ответ: $y' = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$. 4) $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^5}}$ Представим выражение в виде степени с отрицательным дробным показателем: $$ y = \frac{1}{x^{\frac{5}{8}}} = x^{-\frac{5}{8}} $$ Найдём производную: $$ y' = \left(x^{-\frac{5}{8}}\right)' = -\frac{5}{8} x^{-\frac{5}{8} - 1} = -\frac{5}{8} x^{-\frac{13}{8}} = -\frac{5}{8\sqrt[8]{x^{13}}} = -\frac{5}{8x\sqrt[8]{x^5}} $$ Ответ: $y' = -\frac{5}{8x\sqrt[8]{x^5}}$.