ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 3 - 3.8

1) Представим функцию в виде степени с рациональным показателем: $$ f(x) = x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}} $$ Найдем производную функции по формуле $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$: $$ f'(x) = \left(x^{\frac{3}{2}}\right)' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2} - 1} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 81$: $$ f'(81) = \frac{3}{2}\sqrt{81} = \frac{3}{2} \cdot 9 = \frac{27}{2} = 13{,}5 $$ 2) Представим функцию в виде степени: $$ f(x) = x^3\sqrt[4]{x} = x^3 \cdot x^{\frac{1}{4}} = x^{3 + \frac{1}{4}} = x^{\frac{13}{4}} $$ Найдем производную: $$ f'(x) = \left(x^{\frac{13}{4}}\right)' = \frac{13}{4}x^{\frac{13}{4} - 1} = \frac{13}{4}x^{\frac{9}{4}} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $$ f'(1) = \frac{13}{4} \cdot 1^{\frac{9}{4}} = \frac{13}{4} = 3{,}25 $$ 3) Преобразуем функцию, используя свойства степеней: $$ f(x) = \sqrt{x\sqrt{x}} = \sqrt{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{x^{\frac{3}{2}}} = \left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{4}} $$ Найдем производную: $$ f'(x) = \left(x^{\frac{3}{4}}\right)' = \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4} - 1} = \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 16$: $$ f'(16) = \frac{3}{4\sqrt[4]{16}} = \frac{3}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8} = 0{,}375 $$ 4) Запишем функцию в виде степени: $$ f(x) = \frac{x^2}{\sqrt[6]{x}} = \frac{x^2}{x^{\frac{1}{6}}} = x^{2 - \frac{1}{6}} = x^{\frac{11}{6}} $$ Найдем производную: $$ f'(x) = \left(x^{\frac{11}{6}}\right)' = \frac{11}{6}x^{\frac{11}{6} - 1} = \frac{11}{6}x^{\frac{5}{6}} = \frac{11}{6}\sqrt[6]{x^5} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 64$: $$ f'(64) = \frac{11}{6} \cdot 64^{\frac{5}{6}} = \frac{11}{6} \cdot (2^6)^{\frac{5}{6}} = \frac{11}{6} \cdot 2^5 = \frac{11}{6} \cdot 32 = \frac{11 \cdot 16}{3} = \frac{176}{3} = 58\frac{2}{3} $$ Ответ: 1) $13{,}5$; 2) $3{,}25$; 3) $\frac{3}{8}$; 4) $58\frac{2}{3}$.