ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 28 - 28.5

1) Воспользуемся формулой Муавра для возведения комплексного числа в степень: если число задано в тригонометрической форме $w = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, то для любого натурального $n$: $$ w^n = r^n (\cos (n\varphi) + i \sin (n\varphi)) $$ В выражении $z = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{20} + i \sin \frac{\pi}{20} \right) \right)^{10}$ модуль основания равен $r = 2$, аргумент $\varphi = \frac{\pi}{20}$, а показатель степени $n = 10$: $$ r^{10} = 2^{10} = 1024 $$ $$ n\varphi = 10 \cdot \frac{\pi}{20} = \frac{\pi}{2} $$ Получаем число $z$ в тригонометрической форме: $$ z = 1024 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) $$ *(Если множитель $2$ не входит в степень, то есть $z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{20} + i \sin \frac{\pi}{20} \right)^{10}$, то $z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right)$).* **Ответ к п. 1:** $1024 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right)$ --- 2) Преобразуем сначала выражение в скобках к тригонометрической форме. Используем свойства четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ и нечетности синуса $-\sin \alpha = \sin(-\alpha)$: $$ \cos \frac{\pi}{18} - i \sin \frac{\pi}{18} = \cos \left( -\frac{\pi}{18} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{18} \right) $$ Тогда число внутри внешних скобок имеет модуль $r = \sqrt{3}$ и аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{18}$. Применяем формулу Муавра при $n = 6$: $$ r^6 = (\sqrt{3})^6 = ((\sqrt{3})^2)^3 = 3^3 = 27 $$ $$ n\varphi = 6 \cdot \left( -\frac{\pi}{18} \right) = -\frac{\pi}{3} $$ Получаем: $$ z = 27 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) \right) $$ При необходимости аргумент можно записать в пределах от $0$ до $2\pi$, добавив период $2\pi$: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$: $$ z = 27 \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right) $$ *(Если множитель $\sqrt{3}$ не входит в степень, то есть $z = \sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{18} - i \sin \frac{\pi}{18} \right)^6$, то $z = \sqrt{3} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) \right)$).* **Ответ к п. 2:** $27 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) \right)$ или $27 \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right)$