ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 27 - 27.6

Пусть $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Комплексному числу $z$ на комплексной плоскости соответствует точка с координатами $(x; y)$, а числу $z_0 = 2i$ — точка $M_0(0; 2)$. Геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел $|z - z_0|$ — это расстояние между точками $z$ и $z_0$ на комплексной плоскости: $$ |z - 2i| = |x + iy - 2i| = |x + (y - 2)i| = \sqrt{x^2 + (y - 2)^2} $$ --- ### 1) $|z - 2i| = 3$ Подставим алгебраическую форму числа $z$: $$ \sqrt{x^2 + (y - 2)^2} = 3 $$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ x^2 + (y - 2)^2 = 9 $$ Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке $(0; 2)$ и радиусом $R = 3$. **Изображение на плоскости:** Окружность с центром в точке $M_0(0; 2)$ на мнимой оси и радиусом $3$ единицы (линия проводится сплошной). --- ### 2) $|z - 2i| < 3$ Подставим алгебраическую форму числа $z$: $$ \sqrt{x^2 + (y - 2)^2} < 3 $$ Так как обе части неравенства неотрицательны, возведём их в квадрат: $$ x^2 + (y - 2)^2 < 9 $$ Это неравенство задаёт внутреннюю область круга (открытый круг) с центром в точке $(0; 2)$ и радиусом $R = 3$. **Изображение на плоскости:** Внутренняя область круга с центром в точке $M_0(0; 2)$ и радиусом $3$. Сама граничная окружность не принадлежит множеству, поэтому её изображают пунктирной линией, а внутреннюю часть штрихуют. --- ### 3) $|z - 2i| \geq 3$ Подставим алгебраическую форму числа $z$: $$ \sqrt{x^2 + (y - 2)^2} \geq 3 $$ Возведём обе части неравенства в квадрат: $$ x^2 + (y - 2)^2 \geq 9 $$ Это неравенство задаёт часть плоскости, расположенную вне круга радиуса $R = 3$ с центром в точке $(0; 2)$, включая саму границу. **Изображение на плоскости:** Вся плоскость за пределами круга с центром в точке $M_0(0; 2)$ и радиусом $3$. Сама окружность входит в решение, поэтому её изображают сплошной линией, а внешняя область заштриховывается. --- **Ответ:** 1) Окружность с центром в точке $(0; 2)$ и радиусом $3$. 2) Внутренняя область круга с центром в точке $(0; 2)$ и радиусом $3$ (без границы). 3) Внешняя область круга с центром в точке $(0; 2)$ и радиусом $3$ вместе с граничной окружностью.