ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 26 - 26.28

1) Упростим выражение $\frac{(3-i)(1+3i)}{2-i}$. Выполним умножение в числителе, учитывая, что $i^2 = -1$: $$ (3-i)(1+3i) = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 3i - i \cdot 1 - 3i^2 = 3 + 9i - i - 3(-1) = 3 + 8i + 3 = 6 + 8i $$ Умножим числитель и знаменатель полученной дроби на число $2+i$, сопряженное знаменателю: $$ \frac{6+8i}{2-i} = \frac{(6+8i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{12 + 6i + 16i + 8i^2}{2^2 - i^2} = \frac{12 + 22i - 8}{4 - (-1)} = \frac{4 + 22i}{5} = \frac{4}{5} + \frac{22}{5}i = 0{,}8 + 4{,}4i $$ Ответ: $\frac{4}{5} + \frac{22}{5}i$ (или $0{,}8 + 4{,}4i$). 2) Упростим выражение $\frac{4-3i}{(1-i)(2+i)}$. Выполним умножение в знаменателе: $$ (1-i)(2+i) = 2 + i - 2i - i^2 = 2 - i - (-1) = 3 - i $$ Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное число $3+i$: $$ \frac{4-3i}{3-i} = \frac{(4-3i)(3+i)}{(3-i)(3+i)} = \frac{12 + 4i - 9i - 3i^2}{3^2 - i^2} = \frac{12 - 5i - 3(-1)}{9 - (-1)} = \frac{15 - 5i}{10} = \frac{15}{10} - \frac{5}{10}i = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}i = 1{,}5 - 0{,}5i $$ Ответ: $\frac{3}{2} - \frac{1}{2}i$ (или $1{,}5 - 0{,}5i$). 3) Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{2}{3-i} + \frac{2}{3+i} = \frac{2(3+i) + 2(3-i)}{(3-i)(3+i)} $$ Раскроем скобки в числителе и применим формулу разности квадратов в знаменателе: $$ \frac{6 + 2i + 6 - 2i}{3^2 - i^2} = \frac{12}{9 - (-1)} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1{,}2 $$ Ответ: $\frac{6}{5}$ (или $1{,}2$). 4) Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{1+2i}{1-2i} + \frac{1-2i}{1+2i} = \frac{(1+2i)^2 + (1-2i)^2}{(1-2i)(1+2i)} $$ Применим формулы квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов: $$ (1+2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i $$ $$ (1-2i)^2 = 1 - 4i + 4i^2 = 1 - 4i - 4 = -3 - 4i $$ $$ (1-2i)(1+2i) = 1^2 - (2i)^2 = 1 - 4i^2 = 1 - 4(-1) = 5 $$ Сложим полученные выражения: $$ \frac{(-3 + 4i) + (-3 - 4i)}{5} = \frac{-6}{5} = -1{,}2 $$ Ответ: $-\frac{6}{5}$ (или $-1{,}2$). 5) Вычислим степени мнимой единицы, используя равенство $i^4 = 1$: $$ i^7 = i^4 \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) = -i $$ $$ i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i $$ Подставим полученные значения в выражение: $$ \left(\frac{1+i^7}{1-i^5}\right)^9 = \left(\frac{1-i}{1-i}\right)^9 = 1^9 = 1 $$ Ответ: $1$.