ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 24 - 24.9

Пусть испытание состоит в ответе на один вопрос теста. Всего таких независимых испытаний $n = 8$. В каждом испытании возможны два исхода: «ученик ответил правильно» (успех) и «ученик ответил неправильно» (неудача). Вероятность успеха в одном испытании: $$ p = 80\,\% = 0{,}8 $$ Вероятность неудачи: $$ q = 1 - p = 1 - 0{,}8 = 0{,}2 $$ Требуется найти вероятность того, что в $n = 8$ испытаниях наступит ровно $k = 5$ успехов. Для этого применим формулу Бернулли: $$ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n - k} $$ Найдем число сочетаний $C_8^5$: $$ C_8^5 = C_8^{8 - 5} = C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 $$ Подставим значения в формулу Бернулли: $$ P_8(5) = C_8^5 \cdot p^5 \cdot q^{8 - 5} = 56 \cdot (0{,}8)^5 \cdot (0{,}2)^3 $$ Выполним вычисления: $$ (0{,}8)^5 = 0{,}32768 $$ $$ (0{,}2)^3 = 0{,}008 $$ $$ P_8(5) = 56 \cdot 0{,}32768 \cdot 0{,}008 = 56 \cdot 0{,}00262144 = 0{,}14680064 $$ В виде обыкновенной дроби: $$ P_8(5) = 56 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^5 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^3 = 56 \cdot \frac{1024}{3125} \cdot \frac{1}{125} = \frac{57\,344}{390\,625} $$ Ответ: $0{,}14680064$ (или $\frac{57\,344}{390\,625} \approx 0{,}147$).