ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 21 - 21.5

Пусть конус имеет высоту $h$ и радиус основания $R$. Конус можно рассматривать как тело вращения, полученное в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Введем декартову систему координат $xOy$ так, чтобы вершина конуса находилась в начале координат $O(0; 0)$, а ось симметрии конуса совпадала с положительным направлением оси $Ox$. В этом случае основание конуса лежит в плоскости $x = h$, а высота конуса расположена на отрезке $[0; h]$ оси $Ox$. Образующая конуса лежит на прямой, проходящей через начало координат $(0; 0)$ и точку $(h; R)$. Составим уравнение этой прямой: $$ y = kx $$ Так как при $x = h$ значение $y = R$, то $k = \frac{R}{h}$, следовательно: $$ y = \frac{R}{h}x $$ Конус образуется при вращении вокруг оси $Ox$ криволинейной трапеции (прямоугольного треугольника), ограниченной линиями: $y = \frac{R}{h}x$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = h$. Объём тела вращения вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле: $$ V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x)\,dx $$ Подставим пределы интегрирования $a = 0$, $b = h$ и функцию $f(x) = \frac{R}{h}x$: $$ V = \pi \int_{0}^{h} \left(\frac{R}{h}x\right)^2 dx = \pi \cdot \frac{R^2}{h^2} \int_{0}^{h} x^2\,dx $$ Найдем первообразную по формуле Ньютона — Лейбница: $$ V = \pi \cdot \frac{R^2}{h^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{h} = \pi \cdot \frac{R^2}{h^2} \left( \frac{h^3}{3} - 0 \right) = \pi \cdot \frac{R^2}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{1}{3}\pi R^2 h $$ Так как площадь основания конуса равна $S_{\text{осн}} = \pi R^2$, формулу объёма можно записать в виде: $$ V = \frac{1}{3}S_{\text{осн}}h $$ Формула выведена.