ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 21 - 21.4

Поместим шар радиуса $R$ в декартову систему координат так, чтобы его центр находился в начале координат $O(0; 0)$. Шар радиуса $R$ можно рассматривать как тело, полученное в результате вращения вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ и осью $Ox$ на отрезке $[-R; R]$. Для вычисления объёма тела вращения вокруг оси абсцисс воспользуемся формулой: $$ V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) \, dx $$ В данном случае $f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$, поэтому: $$ f^2(x) = R^2 - x^2 $$ Пределы интегрирования: $a = -R$, $b = R$. Вычислим объём шара с помощью определённого интеграла: $$ V = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 - x^2) \, dx $$ Так как подынтегральная функция $y = R^2 - x^2$ является чётной, можно воспользоваться свойством симметрии: $$ V = 2\pi \int_{0}^{R} (R^2 - x^2) \, dx $$ Найдём первообразную и применим формулу Ньютона — Лейбница: $$ V = 2\pi \left. \left( R^2 x - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{R} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ V = 2\pi \left( \left( R^2 \cdot R - \frac{R^3}{3} \right) - 0 \right) = 2\pi \left( R^3 - \frac{R^3}{3} \right) = 2\pi \cdot \frac{2}{3} R^3 = \frac{4}{3}\pi R^3 $$ Таким образом, объём шара радиуса $R$ равен $\frac{4}{3}\pi R^3$, что и требовалось доказать.