ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 20 - 20.9

1) Вычислим определённый интеграл, найдя первообразную по правилам интегрирования суммы и степенной функции: $$ \int_{1}^{4} \left( \frac{4}{x^2} + 2x - 3x^2 \right) dx = \int_{1}^{4} (4x^{-2} + 2x - 3x^2) dx $$ $$ = \left. \left( 4 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} \right) \right|_{1}^{4} = \left. \left( -\frac{4}{x} + x^2 - x^3 \right) \right|_{1}^{4} $$ Применим формулу Ньютона — Лейбница: $$ \left( -\frac{4}{4} + 4^2 - 4^3 \right) - \left( -\frac{4}{1} + 1^2 - 1^3 \right) = (-1 + 16 - 64) - (-4 + 1 - 1) = -49 - (-4) = -45 $$ **Ответ:** $-45$ --- 2) Так как нижний и верхний пределы интегрирования совпадают ($a = b = \frac{4\pi}{3}$), по свойству определённого интеграла значение интеграла равно нулю: $$ \int_{\frac{4\pi}{3}}^{\frac{4\pi}{3}} \sin \frac{x}{4} dx = \left. \left( -4\cos \frac{x}{4} \right) \right|_{\frac{4\pi}{3}}^{\frac{4\pi}{3}} = -4\cos \frac{\pi}{3} - \left( -4\cos \frac{\pi}{3} \right) = 0 $$ **Ответ:** $0$ --- 3) Применим формулу понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$: $$ \cos^2 \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1 + \cos \left( x - \frac{2\pi}{3} \right)}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos \left( x - \frac{2\pi}{3} \right) $$ Найдём первообразную и применим формулу Ньютона — Лейбница: $$ \int_{0}^{\pi} \cos^2 \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right) dx = \int_{0}^{\pi} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos \left( x - \frac{2\pi}{3} \right) \right) dx $$ $$ = \left. \left( \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\sin \left( x - \frac{2\pi}{3} \right) \right) \right|_{0}^{\pi} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ = \left( \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin \left( \pi - \frac{2\pi}{3} \right) \right) - \left( 0 + \frac{1}{2}\sin \left( -\frac{2\pi}{3} \right) \right) $$ $$ = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin \frac{\pi}{3} - \left( -\frac{1}{2}\sin \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi + \sqrt{3}}{2} $$ **Ответ:** $\frac{\pi + \sqrt{3}}{2}$ --- 4) Найдём первообразную сложной функции вида $f(kx + b)$, где $k = 2$: $$ \int (2x - 1)^4 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x - 1)^5}{5} = \frac{(2x - 1)^5}{10} $$ Вычислим определённый интеграл по формуле Ньютона — Лейбница: $$ \int_{0}^{7} (2x - 1)^4 dx = \left. \frac{(2x - 1)^5}{10} \right|_{0}^{7} = \frac{(2 \cdot 7 - 1)^5}{10} - \frac{(2 \cdot 0 - 1)^5}{10} $$ $$ = \frac{13^5}{10} - \frac{(-1)^5}{10} = \frac{371293 - (-1)}{10} = \frac{371294}{10} = 37129{,}4 $$ **Ответ:** $37129{,}4$ (или $\frac{185647}{5}$) --- 5) Представим подынтегральное выражение в виде степени: $\frac{1}{\sqrt{3x + 4}} = (3x + 4)^{-\frac{1}{2}}$. Первообразная функции: $$ F(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x + 4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}\sqrt{3x + 4} $$ Вычислим интеграл: $$ \int_{\frac{7}{4}}^{7} \frac{dx}{\sqrt{3x + 4}} = \left. \left( \frac{2}{3}\sqrt{3x + 4} \right) \right|_{\frac{7}{4}}^{7} $$ $$ = \frac{2}{3}\sqrt{3 \cdot 7 + 4} - \frac{2}{3}\sqrt{3 \cdot \frac{7}{4} + 4} = \frac{2}{3}\sqrt{25} - \frac{2}{3}\sqrt{\frac{37}{4}} $$ $$ = \frac{2}{3} \cdot 5 - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{37}}{2} = \frac{10}{3} - \frac{\sqrt{37}}{3} = \frac{10 - \sqrt{37}}{3} $$ **Ответ:** $\frac{10 - \sqrt{37}}{3}$ --- 6) Первообразная показательной функции $e^{-2x}$ равна $-\frac{1}{2}e^{-2x}$. Вычислим интеграл: $$ \int_{\ln 3}^{\ln 4} e^{-2x} dx = \left. \left( -\frac{1}{2}e^{-2x} \right) \right|_{\ln 3}^{\ln 4} = -\frac{1}{2}e^{-2\ln 4} - \left( -\frac{1}{2}e^{-2\ln 3} \right) $$ Используем свойства логарифма $e^{-2\ln a} = e^{\ln(a^{-2})} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}$: $$ = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4^2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^2} = -\frac{1}{32} + \frac{1}{18} = \frac{-9 + 16}{288} = \frac{7}{288} $$ **Ответ:** $\frac{7}{288}$ --- 7) Первообразная функции $\frac{1}{3x + 1}$ равна $\frac{1}{3}\ln|3x + 1|$. Вычислим интеграл: $$ \int_{0}^{3} \frac{dx}{3x + 1} = \left. \left( \frac{1}{3}\ln(3x + 1) \right) \right|_{0}^{3} = \frac{1}{3}\ln(3 \cdot 3 + 1) - \frac{1}{3}\ln(3 \cdot 0 + 1) $$ $$ = \frac{1}{3}\ln 10 - \frac{1}{3}\ln 1 = \frac{1}{3}\ln 10 - 0 = \frac{1}{3}\ln 10 $$ **Ответ:** $\frac{1}{3}\ln 10$ --- 8) Запишем подынтегральную функцию как $(6x - 5)^{-2}$. Первообразная: $$ F(x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{(6x - 5)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{6(6x - 5)} $$ Вычислим интеграл: $$ \int_{1}^{\frac{7}{6}} \frac{dx}{(6x - 5)^2} = \left. \left( -\frac{1}{6(6x - 5)} \right) \right|_{1}^{\frac{7}{6}} $$ $$ = -\frac{1}{6\left(6 \cdot \frac{7}{6} - 5\right)} - \left( -\frac{1}{6(6 \cdot 1 - 5)} \right) = -\frac{1}{6(7 - 5)} + \frac{1}{6(6 - 5)} $$ $$ = -\frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1}{12} $$ **Ответ:** $\frac{1}{12}$ --- 9) Запишем подынтегральную функцию как $(7x - 3)^{\frac{1}{2}}$. Первообразная: $$ F(x) = \frac{1}{7} \cdot \frac{(7x - 3)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{21}\sqrt{(7x - 3)^3} $$ Вычислим интеграл: $$ \int_{1}^{4} \sqrt{7x - 3} dx = \left. \left( \frac{2}{21}\sqrt{(7x - 3)^3} \right) \right|_{1}^{4} $$ $$ = \frac{2}{21}\sqrt{(7 \cdot 4 - 3)^3} - \frac{2}{21}\sqrt{(7 \cdot 1 - 3)^3} = \frac{2}{21}\sqrt{25^3} - \frac{2}{21}\sqrt{4^3} $$ $$ = \frac{2}{21} \cdot 125 - \frac{2}{21} \cdot 8 = \frac{250 - 16}{21} = \frac{234}{21} = \frac{78}{7} = 11\frac{1}{7} $$ **Ответ:** $\frac{78}{7} = 11\frac{1}{7}$