ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 20 - 20.6

1) Найдём пределы интегрирования. Линия $y = 0$ — это ось абсцисс. Найдём точку пересечения графика функции $y = x^2 - 1$ с осью $Ox$: $$ x^2 - 1 = 0 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 1 $$ Так как второй вертикальной границей является прямая $x = 2$, рассматриваем промежуток $[1; 2]$. На этом отрезке $x^2 - 1 \ge 0$. Вычислим площадь криволинейной трапеции: $$ S = \int_{1}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \left. \left( \frac{x^3}{3} - x \right) \right|_{1}^{2} = \left( \frac{2^3}{3} - 2 \right) - \left( \frac{1^3}{3} - 1 \right) = \left( \frac{8}{3} - 2 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $$ Ответ: $1\frac{1}{3}$. --- 2) Найдём нули функции $y = -x^2 - 4x$: $$ -x(x + 4) = 0 \implies x_1 = -4, \quad x_2 = 0 $$ На отрезке $[-3; -1]$ график квадратичной функции лежит выше оси абсцисс, то есть $-x^2 - 4x \ge 0$. Вычислим площадь: $$ S = \int_{-3}^{-1} (-x^2 - 4x) \, dx = \left. \left( -\frac{x^3}{3} - 2x^2 \right) \right|_{-3}^{-1} $$ $$ S = \left( -\frac{(-1)^3}{3} - 2(-1)^2 \right) - \left( -\frac{(-3)^3}{3} - 2(-3)^2 \right) = \left( \frac{1}{3} - 2 \right) - (9 - 18) = -\frac{5}{3} - (-9) = 9 - \frac{5}{3} = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3} $$ Ответ: $7\frac{1}{3}$. --- 3) На отрезке $[-4; -2]$ значения переменной $x$ отрицательны, следовательно, $y = -\frac{8}{x} > 0$, и график расположен выше оси $Ox$. Вычислим площадь: $$ S = \int_{-4}^{-2} \left( -\frac{8}{x} \right) \, dx = \left. \left( -8 \ln|x| \right) \right|_{-4}^{-2} = -8 \ln|-2| - (-8 \ln|-4|) = -8 \ln 2 + 8 \ln 4 $$ Так как $\ln 4 = \ln(2^2) = 2 \ln 2$: $$ S = -8 \ln 2 + 16 \ln 2 = 8 \ln 2 $$ Ответ: $8 \ln 2$. --- 4) Функция $y = \frac{1}{(x+2)^2}$ определена и строго положительна при всех $x \in [-1; 1]$. Вычислим площадь: $$ S = \int_{-1}^{1} \frac{1}{(x+2)^2} \, dx = \int_{-1}^{1} (x+2)^{-2} \, d(x+2) = \left. \left( -\frac{1}{x+2} \right) \right|_{-1}^{1} $$ $$ S = -\frac{1}{1 + 2} - \left( -\frac{1}{-1 + 2} \right) = -\frac{1}{3} - (-1) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $$ Ответ: $\frac{2}{3}$. --- 5) Функция $y = \sqrt{x+4}$ непрерывна и неотрицательна на отрезке $[-3; 5]$. Вычислим площадь: $$ S = \int_{-3}^{5} \sqrt{x+4} \, dx = \int_{-3}^{5} (x+4)^{\frac{1}{2}} \, d(x+4) = \left. \left( \frac{2}{3} (x+4)^{\frac{3}{2}} \right) \right|_{-3}^{5} $$ $$ S = \frac{2}{3} \left( (5 + 4)^{\frac{3}{2}} - (-3 + 4)^{\frac{3}{2}} \right) = \frac{2}{3} \left( 9^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}} \right) = \frac{2}{3} \left( (\sqrt{9})^3 - 1 \right) = \frac{2}{3} (27 - 1) = \frac{52}{3} = 17\frac{1}{3} $$ Ответ: $17\frac{1}{3}$. --- 6) Пределы интегрирования определяются прямыми $x = -4$ и $x = -2$. На отрезке $[-4; -2]$ степень $x < 0$, поэтому $\left(\frac{1}{3}\right)^x = 3^{-x} \ge 3^2 = 9 > 1$, а значит, $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 1 > 0$. Вычислим площадь: $$ S = \int_{-4}^{-2} \left( 3^{-x} - 1 \right) \, dx = \left. \left( -\frac{3^{-x}}{\ln 3} - x \right) \right|_{-4}^{-2} $$ Подставим верхний и нижний пределы: $$ S = \left( -\frac{3^2}{\ln 3} - (-2) \right) - \left( -\frac{3^4}{\ln 3} - (-4) \right) = \left( -\frac{9}{\ln 3} + 2 \right) - \left( -\frac{81}{\ln 3} + 4 \right) $$ $$ S = -\frac{9}{\ln 3} + 2 + \frac{81}{\ln 3} - 4 = \frac{72}{\ln 3} - 2 $$ Ответ: $\frac{72}{\ln 3} - 2$.