ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 20 - 20.10

1) Линии: $y = x^2$, $y = 4$. Найдем абсциссы точек пересечения графиков: $$ x^2 = 4 \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 2 $$ На отрезке $[-2; 2]$ прямая $y = 4$ расположена выше параболы $y = x^2$, поэтому площадь фигуры равна: $$ S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = \left. \left( 4x - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{-2}^{2} = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right) = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} $$ Ответ: $10\frac{2}{3}$. --- 2) Линии: $y = 2x^2$, $y = 2x$. Найдем абсциссы точек пересечения: $$ 2x^2 = 2x \implies 2x(x - 1) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 1 $$ На отрезке $[0; 1]$ график $y = 2x$ лежит выше графика $y = 2x^2$: $$ S = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) \, dx = \left. \left( x^2 - \frac{2x^3}{3} \right) \right|_{0}^{1} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $$ Ответ: $\frac{1}{3}$. --- 3) Линии: $y = e^x$, $y = 1$, $x = 2$. Найдем точку пересечения кривой $y = e^x$ и прямой $y = 1$: $$ e^x = 1 \implies x = 0 $$ Фигура ограничена линиями на отрезке $[0; 2]$, где $e^x \ge 1$: $$ S = \int_{0}^{2} (e^x - 1) \, dx = \left. (e^x - x) \right|_{0}^{2} = (e^2 - 2) - (e^0 - 0) = e^2 - 2 - 1 = e^2 - 3 $$ Ответ: $e^2 - 3$. --- 4) Линии: $y = \frac{4}{x}$, $y = 1$, $x = 1$. Найдем точку пересечения гиперболы $y = \frac{4}{x}$ и прямой $y = 1$: $$ \frac{4}{x} = 1 \implies x = 4 $$ Пределы интегрирования: от $x = 1$ до $x = 4$. На этом отрезке $\frac{4}{x} \ge 1$: $$ S = \int_{1}^{4} \left( \frac{4}{x} - 1 \right) \, dx = \left. (4\ln x - x) \right|_{1}^{4} = (4\ln 4 - 4) - (4\ln 1 - 1) = 4\ln 4 - 3 $$ Ответ: $4\ln 4 - 3$. --- 5) Линии: $y = \frac{4}{x}$, $y = 4$, $x = 4$. Найдем точку пересечения гиперболы $y = \frac{4}{x}$ и прямой $y = 4$: $$ \frac{4}{x} = 4 \implies x = 1 $$ Пределы интегрирования: от $x = 1$ до $x = 4$. На этом отрезке $4 \ge \frac{4}{x}$: $$ S = \int_{1}^{4} \left( 4 - \frac{4}{x} \right) \, dx = \left. (4x - 4\ln x) \right|_{1}^{4} = (16 - 4\ln 4) - (4 - 4\ln 1) = 12 - 4\ln 4 $$ Ответ: $12 - 4\ln 4$. --- 6) Линии: $y = x^2 - 4x + 5$, $y = 5$. Найдем точки пересечения параболы и прямой: $$ x^2 - 4x + 5 = 5 \implies x^2 - 4x = 0 \implies x(x - 4) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 4 $$ На отрезке $[0; 4]$ прямая $y = 5$ лежит выше параболы: $$ S = \int_{0}^{4} (5 - (x^2 - 4x + 5)) \, dx = \int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx = \left. \left( 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{4} = 32 - \frac{64}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} $$ Ответ: $10\frac{2}{3}$. --- 7) Линии: $y = 2 + x - x^2$, $y = 2 - x$. Найдем точки пересечения: $$ 2 + x - x^2 = 2 - x \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 2 $$ На отрезке $[0; 2]$ парабола расположена выше прямой: $$ S = \int_{0}^{2} ((2 + x - x^2) - (2 - x)) \, dx = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx = \left. \left( x^2 - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{2} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $$ Ответ: $1\frac{1}{3}$. --- 8) Линии: $y = x^2 + 2$, $y = x + 4$. Найдем точки пересечения: $$ x^2 + 2 = x + 4 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 2 $$ На отрезке $[-1; 2]$ прямая лежит выше параболы: $$ S = \int_{-1}^{2} (x + 4 - (x^2 + 2)) \, dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) \, dx = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right) \right|_{-1}^{2} $$ $$ S = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right) = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{20 + 7}{6} = \frac{27}{6} = 4{,}5 $$ Ответ: $4{,}5$. --- 9) Линии: $y = x^2 + 2x + 1$, $y = x + 3$. Найдем точки пересечения: $$ x^2 + 2x + 1 = x + 3 \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 1 $$ На отрезке $[-2; 1]$ прямая расположена выше параболы: $$ S = \int_{-2}^{1} (x + 3 - (x^2 + 2x + 1)) \, dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) \, dx = \left. \left( -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right) \right|_{-2}^{1} $$ $$ S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right) = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) = \frac{7 + 20}{6} = \frac{27}{6} = 4{,}5 $$ Ответ: $4{,}5$. --- 10) Линии: $y = -x^2 + 2x$, $y = x^2$. Найдем точки пересечения парабол: $$ -x^2 + 2x = x^2 \implies 2x^2 - 2x = 0 \implies 2x(x - 1) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 1 $$ На отрезке $[0; 1]$ парабола $y = -x^2 + 2x$ лежит выше параболы $y = x^2$: $$ S = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x - x^2) \, dx = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) \, dx = \left. \left( x^2 - \frac{2x^3}{3} \right) \right|_{0}^{1} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $$ Ответ: $\frac{1}{3}$. --- 11) Линии: $y = x^3$, $y = x^2$. Найдем точки пересечения: $$ x^3 = x^2 \implies x^2(x - 1) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 1 $$ На отрезке $[0; 1]$ выполняется неравенство $x^2 \ge x^3$: $$ S = \int_{0}^{1} (x^2 - x^3) \, dx = \left. \left( \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right) \right|_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12} $$ Ответ: $\frac{1}{12}$. --- 12) Линии: $y = e^x$, $y = e$, $x = 0$. Найдем точку пересечения графиков $y = e^x$ и $y = e$: $$ e^x = e \implies x = 1 $$ Пределы интегрирования: от $x = 0$ до $x = 1$. На этом отрезке $e \ge e^x$: $$ S = \int_{0}^{1} (e - e^x) \, dx = \left. (ex - e^x) \right|_{0}^{1} = (e - e) - (0 - e^0) = 0 - (-1) = 1 $$ Ответ: $1$. --- 13) Линии: $y = \frac{7}{x}$, $x + y = 8 \implies y = 8 - x$. Найдем точки пересечения: $$ \frac{7}{x} = 8 - x \implies x^2 - 8x + 7 = 0 \implies x_1 = 1, \quad x_2 = 7 $$ На отрезке $[1; 7]$ прямая $y = 8 - x$ лежит выше гиперболы: $$ S = \int_{1}^{7} \left( 8 - x - \frac{7}{x} \right) \, dx = \left. \left( 8x - \frac{x^2}{2} - 7\ln x \right) \right|_{1}^{7} $$ $$ S = \left( 56 - \frac{49}{2} - 7\ln 7 \right) - \left( 8 - \frac{1}{2} - 7\ln 1 \right) = \left( 31{,}5 - 7\ln 7 \right) - 7{,}5 = 24 - 7\ln 7 $$ Ответ: $24 - 7\ln 7$. --- 14) Линии: $y = \frac{2}{x^2}$, $y = 2x$, $x = 2$. Найдем точку пересечения кривой $y = \frac{2}{x^2}$ и прямой $y = 2x$ (при $x > 0$): $$ \frac{2}{x^2} = 2x \implies 2x^3 = 2 \implies x^3 = 1 \implies x = 1 $$ Пределы интегрирования: от $x = 1$ до $x = 2$. На отрезке $[1; 2]$ прямая $y = 2x$ лежит выше графика $y = \frac{2}{x^2}$: $$ S = \int_{1}^{2} \left( 2x - \frac{2}{x^2} \right) \, dx = \left. \left( x^2 + \frac{2}{x} \right) \right|_{1}^{2} = \left( 4 + \frac{2}{2} \right) - \left( 1 + \frac{2}{1} \right) = (4 + 1) - (1 + 2) = 5 - 3 = 2 $$ Ответ: $2$. --- 15) Линии: $y = \sin x$, $y = \cos x$, $x = 0$, $x = \frac{\pi}{4}$. На отрезке $\left[ 0; \frac{\pi}{4} \right]$ выполняется неравенство $\cos x \ge \sin x$: $$ S = \int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) \, dx = \left. (\sin x + \cos x) \right|_{0}^{\pi/4} $$ $$ S = \left( \sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4} \right) - (\sin 0 + \cos 0) = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1 $$ Ответ: $\sqrt{2} - 1$.